PREMIÈRE PARTIE
I. Lorsqu’une fonction u d’une variable : réelle ou imaginaire est définie par une équation algébrique
il ne suffit pas d'attribuer à la variable une valeur particulière pour que la fonction soit complètement déterminée; car l’équation proposée fournira, en général, plusieurs valeurs de u pour chaque valeur de z : d faut encore faire connaître laquelle de ces valeurs on doit choisir, si I on veut que la fonction u soit définie sans ambiguité.
Soit, par exemple, l’équation
l’équation dont il s'agit; la valeur de z étant représentée par re* où r est positif et t réel , les deux valeurs correspondantes de u seront
i lyfzr, i I
rJe’ , — ra e’ , en désignant par r1 la valeur arithmétique de la racine carrée de r. Pour achever de définir la fonction , on |>ourrait convenir de prendre pour t un angle compris entre — it et -t- n, et d’adopter constamment pour u l’une des deux formules écrites ci-
dessus, r’ea , par exemple. Mais cette convention, qu’il serait
difficile d’étendre à des équations d’un degré quelconque, a encore cet inconvénient , que u devient alors une fonction discontinue de z.
En effet, attribuons à cette variable les deux valeurs re *
re ' qui différeront infiniment peu si t désigne un infiniment
petit positif; les valeurs correspondantes de u, savoir: rae J ,
i ‘ e 3 , différeront d’une quantité finie et sensiblement égale a
ar’v — i .
2. On évitera celte discontinuité en définissant autrement la fonction u. Reprenons l'équation
dont nous pouvons supposer le premier membre entier en u et z, donnons à : une valeur initiale quelconque c, et, pour la valeur initiale h de u , choisissons une quelconque des racines de l’équation
Concevons maintenant que : varie d’une manière continue à partir de ia valeur c, et atteigne une autre valeur k ; M. Cauchy a démontré Nouveaux Exercices de Mathématiques, tome II, page 109 que les diverses valeurs de u varient en même temps d’une manière continue. 11 y en aura donc une qui, d’abord égale à h, aura passé par degrés infiniment |ietits à une valeur déterminée h qu’elle atteindra pour 2 = A. tîette valeur de u sera pour nous une fonction de z, et , comme on le voit, une fonction continue; mais sa détermination, pour une valeur particulière de 2, dépendra tout à la fois et de cette valeur même et de la série des valeurs par lesquelles 2 a passé à partir de sa valeur initiale.
Observons toutefois que la fonction cesserait d’etre déterminée , si , en passant de la valeur c à la valeur k. 2 prenait une des valeurs qui font acquérir à l’équation
des racines égales. Mais ces dernières valeurs étant en nombre limité, il sera toujours possible d’éviter cette circonstance, quelles que soient les quantités c et k ; car il y a une infinité de maniérés de faire passer une variable imaginaire d’une valeur à une autre.
De plus, il importe de remarquer que, selon la série de valeurs qu’on adoptera pour z, la fonction u pourra acquérir, pour z — k, telle ou telle valeur, La question qui va nous occuper, de déterminer la valenrde u pour une valeur quelconque de z, devra donc être posée comme il suit, si l'on veut qu’elle ait une solution unique :
« f.a fonction u satisfaisant à l’équation J'(u, z^ = o,
» et ayant la valeur b pour z = c , assigner la valeur qu’elle acquiert » pour z = k, en supposant connue la série des valeurs infiniment » rapprochées par lesquelles z passe de la valeur c à la valeui k. »
M. Cauchy a montré combien est im|>orlante dans l’analyse, et particulièrement dans le calcul intégral , la considération des diverses manières dont une variable imaginaire peut passer d’une valeur a une autre. Afin de rendre plus sensible la marche d’une pareille variable, nous nous servirons de la représentation géométrique dont cet illustre analyste a tiré un si grand parti. Ayant fait : = z + jy — 1 , nous imaginerons un point Z dont x et y soient les coordonnées rectangulaires, de sorte qu’à chaque valeur de z répondra une position de Z, et réciproquement. Alors, en même temps que z variera de c à A par une série déterminée de valeurs, le point mobile Z passera du point C correspondant à z = c, au point K correspondant à z = k, en suivant un chemin déterminé. Le problème proposé ci-dessus reviendra donc à trouver la valeur qu’acquiert la fonction u, lorsque Z passe de C en K par un chemin donné [*].
3. Pour éclaircir par un exemple ces considérations générales.
[*] Ce chemin peut être ou une ligne droite, ou une ligne brisée, ou une ligne courbe, ou un assemblage quelconque de lignes droites et courbes. 11 n'est assujetti qu'à former entre les points C et SL un trait non interrompu.
revenons à l’équation
De l’origine O des coordonnées comme centre. Jig. i , PI. I , avec un rayon quelconque r, décrivons une circonférence sur laquelle nous prendrons, dans l’angle des coordonnées positives, les deux points C et K ; appelons 7 et 0 les angles aigus COx, KOx, et supposons 6 > t; on aura , au point C,
et . au point R ,
Pour une position quelconque du point Z sur le cercle, on aura
et l’on pourra prendre l'angle r pour valeur initiale de l, et la
quantité r^e1 pour valeur initiale île «. Si. maintenant, on suppose que Z aille de C en K en décrivant l'arc CLK moindre que la demi- circonférence, l’angle / croîtra d’une maniéré continue de 7 à 5,
et la fonction u acquerra, pour z — k, la valeur r3 e3 . Mais si l’on fait décrire à Z l’arc CMR plus grand que ta demi-circonférence, l’angle / décroîtra de 7 à 0 — arc, et la fonction u obtiendra, pour
' * ~ 'iîT \j — T
z — k , la valeur r3 e 3 égale et de signe contraire à la précédente. On voit donc bien que, dans notre manière d’envisager une fonction implicite, elle dépend non-sculeinrnt de la valeur de la variable z on de la position du point Z , mais encore du chemin par lequel ce point y est arrivé à partir de sa position initiale.
■t. En général, le premier membre /(«, z) de l’équation proposée sera de la forme
A u" -f B k1"-' -t- C um~* -(-...-I- lu + R,
A, B,... R, désignant des fonctions entières de z qu’on peut supposer
PURES ET APPLIQUÉES. 36g
n’avoir pas de diviseur commun. Nous admettrons aussi que cette équation est irréductible, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune fonction entière de u et de 2, d’un degré moindre que m par rapport à u, qui divise J (u, z) : s’il y avait un pareil diviseur, l’équation proposée se partagerait en plusieurs autres irréductibles, à l’une desquelles satisferait la fonction dont nous nous occupons. 11 suit de là que l’équation
ne jiourra pas avoir de racines égales, quelle que soit z; car, si cela avait lieu , on sait qu’elle ne serait pas irréductible. Les valeurs de z qui lui feront acquérir des racines égales seront déterminées par une équation en 2 qui n’aura qu’un nombre limité de solutions : les points correspondants à ces valeurs seront donc en nombre limité et ne formeront pas une ligne continue.
5. Afin de définir d’une manière précise la fonction que nous voulons considérer, choisissons pour point de départ de Z un point C correspondant à la valeur c de 2. Supposons que l'équation
ait une ou plusieurs racines simples et finies. Appelons h, une pareille racine, et u, une fonction continue de z qui satisfasse à l’équation
et se réduise à b, lorsque le point Z part de la position C.
Concevons maintenant que Z aille du point C qui répond à 2 = c, au point K qui répond à z = k, en suivant une ligne CMK,/»g. a, telle que, pour aucun point de cette ligne, la fonction «, ne devienne infinie ou égale à line autre racine de l’équation
Au point K, u, acquerra une valeur h, qui sera une des racines de l’équation
Je vais prouver, et c'est là une proposition fondamentale dans notre théorie, que cette valeur h, restera la même, si, les points C et K ris- Xomo XV. — Octomi 1 8 VI . 47
tant fives, la ligne CM K vient à se changer dans la ligne infiniment voisine CM' K .
En effet, regardons ces deux lignes comme parcourues en même temps par deux points mobiles Z et Z' qui partent ensemble de la position C, qui arrivent ensemble en K, et dont les positions simultanées M et M' soient toujours infiniment voisines. Appelons v, et v\ les valeurs simultanées de la fonction «, sur les deux lignes CMK , CM' K : puisque e, et v\ varient d’une manière continue quand les points Z et Z' se déplacent, il en sera tie même de la différence v, — v\ .
Observons maintenant que tout le long de la ligne CMK., la racine u, de l'équation
n’est égale à aucune autre, et qu’ainsi on peut assigner une quantité finie A telle, que le module de la différence entre u, et une autre racine soit, le long de cette ligne, constamment supérieur à A. Pour les deux points M et M', les valeurs de z diffèrent infiniment peu, et , par conséquent, chacune des racines de l’équation
pour le point M', différé infiniment peu de quelqu’une des racines de la même équation pour le point M. Il en résulte que le module de la différence »>, — o', est ou infiniment petit ou supérieur à A : mais cette différence est nulle au point C et varie d’une manière continue; il faut donc qu’elle reste toujours infiniment petite: par conséquent, elle est rigoureusement nulle en K. et la fonction u, acquiert en ce point la même valeur h, , soit que Z y arrive par le chemin CMK ou par le chemin CM' K.
0. Concevons à présent qu’on altère graduellement la ligne CMK, les points C et K restant fixes ; nous obtiendrons la proposition suivante :
/.c point Z allant de C en K , fig. 3 , soit par le chemin CMK , soit par te chemin CNK, la Jonction «, qui avait en C la valeur h, acquerra dans les deux cas la même valeur h,, si l’on peut, en déformant la ligne CMK, la faite coïncider avec CNK, sans lui faire Jranchir
aucun point pour lequel la Jonction u, devienne infinie ou égale à une autre racine de l'équation
7. On peut faire coïncider le point R avec le point C, et alors on arrive au théorème suivant :
Le point Z étant supposé partir du point C et revenir à ce même point en décrivant la ligne CLMC , fig. l\, la fonction u,, qui avait au commencement la valeur b„ reprendra à la fin la même valeur b,, si l’on peut réduite la ligne fermée CLMC au seul point C sans lui faire franchir aucun point pour lequel la fonction u, devienne infinie on égale à une autre racine de l'équation
( )n doit observer que cette ligne fermée CLMC peut avoir une forme absolument quelconque, se couper elle-même, ou faire autour du point C un nombre quelconque de révolutions, pourvu que la condition exprimée dans l’énoncé du théorème soit remplie.
Par exemple, la fonction u, définie par l’équation
um = 2 — a
reprendra sa valeur initiale, lorsque le point Z, parti du point C, reviendra à ce même point, si la ligne qu’il a décrite peut se réduire au seul point C, sans franchir le point A qui répond à z— a. Pareillement , la fonction u, définie par l’équation
{2 — a)(* — a') (2 — af.-.u" — (2 — a) (a - d){z — a’),...,
reprendra sa valeur initiale, lorsque le fioint Z reviendra à son point de départ C, si la ligne décrite par ce point peut se réduire au seul point C sans franchir les points A, A', A',..., A, A ', A", etc., qui correspondent respectivement aux valeurs a, a', a",..., a, a', a", etc., de 2.
Enfin, il en sera de même de la fonction u, définie par l’équation
si la ligne fermée décrite par Z |>eut se réduire au seul point Ci sam
franchir aucun des deux points A et A' qui répondent à : = + — -
et à z =
8. Soit «, une fonction algébrique de z définie, comme précédemment, par la condition d’être continue, de satisfaire à l’équation
et de se réduire à la quantité b, pour z — c. l^a notation
désigne, comme on sait, la somme des produits des valeurs de la fonction u, par les accroissements infiniment petits que reçoit la variable 2 lorsque celle-ci passe de la limite inférieure c à la limite supérieure k. Or, on peut faire varier z de c à k, ou, ce qui est la même chose, faire passer le point Z de C en R d’une infinité de manières, et â chaque chemin CMR, fig- 5 , suivi par le point Z répondra une valeur finie et déterminée de l’intégrale J u, tlz, pourvu qu’en aucun
point de ce chemin la fonction u, ne devienne ni infinie, ni égale à une autre racine de l’équation
On peut donc se demander comment varie l’intégrale I u,dz,
lorsque les points C et R, ainsi que la ligne CMR, viennent à changer infiniment peu. Cette ligne ne renfermant, par hypothèse, aucun point qui rende la fonction u, infinie ou racine multiple , il en sera de meme delà ligne infiniment voisine C'M'K', et l’on prouvera, comme au n°5, que, pour deux points infiniment voisins pris sur ces deux lignes, les valeurs de u, diffèrent infiniment peu L’accroissement de l’intégrale, lorsqu’on passe d’un de ces chemins à l’autre, peut donc être calculé par les regies du calcul des variations, qui donnent
Jp K p k p k
u,tlz = | («, dz) = ! (u,dâz -h âu,dz).
c Je Je
Mais le long de la ligne C.MR, la dérivée d~ a constamment une va
dz
leur finie, comme on le voit par l’équation
df du, df -f- — -t- y = ° , du y dz dz
où ne peut être nul tant que u, est une racine simple de l’équation
On aura donc
d'où
t ïu, = dz,
du,ds — dzdz ~ du, cl z ,
J du‘ s. 1.
et, par suite,
Xk r% k n k
u,d: = J [u, ddz -+- du, dz) = J d u,àz),
ou bien, en appelant b, et b, les valeurs de u, aux points C et K , dj' u,dz = h,dk — b,dc.
9. On tire de cette équation plusieurs conséquences importantes. Supposons d’abord que les points G* et K' coïncident avec les points C et K ; on aura
de = o, dk — o,
et, par suite,
d Ç u, dz — o.
De là résulte le théorème suivant :
L’intégrale £ u, dz , prise le long de la ligne CMR, ne changera
pas de valeur , si, les points C et K restant fixes, cette ligne vient à se déformer , sans franchir toutefois aucun point pour lequel la fonction u, devienne infinie ou égale à une autre racine de l’équation
10. Supposons ensuite que le point R coïncidant avec le point C,
le chemin CMK devienne une ligne fermée CLMC, Jig. 4; on aura
àh — &c,
d'où
o' J" u,dz = (h, — b,)âc.
Tant que le point C reste fixe, on a
et . par suite,
à J ut dz — o.
On conclut de là le théorème suivant :
L'intégrale f u,dz, prise à partir du point C, tout le long de la ligne fermée CLMC, garde la même valeur si, le point C restant Jixe, cette ligne vient à se déformer sans franchir aucun point pour lequel Ut fonction u, devienne infinie ou égale à une autre racine de l’équation
tl. On réduit encore à zéro le produit [h, — b,)àc, en faisant h, — h, , c’est-à-dire en supposant que la fonction u, reprend sa valeur initiale lorsque le point Z, parti du point C, revient à ce même point. On a donc ce théorème :
Si la ligne fermée CLMC est telle, que la jonction u, reprenne sa valeur après une révolution du point Z, Vintégrale f u, dz, prise tout le long de cette ligne, ne changera pas si l’on vient à la déformer sans lui faire franchir aucun point />our lequel la Jonction u, devienne infinie ou égale à une autre racine de l’équation
En combinant ce théorème avec celui du n° 7, on obtient encore la proposition suivante :
Si la ligne Jènnée CLMC est telle, qu'on puisse la réduire au seul point C sans lui Jaire franchir aucun point pour lequel la Jonction u, devienne infinie ou égale à une autre racine de Inéquation
l’intégrale f «, dz, prise tout le long de cette ligne, sera égale à zéro.
PUBES ET APPLIQUÉES. S7S
12. Lorsque la fonction u, reprend sa valeur initiale apres une révolution de Z sur la ligne fermée CLMC, l’intégrale fit, dz (irise tout le long de cette ligne est indépendante du point C qu’on y prend pour origine de l’intégrale. En effet, la ligne CLMC restant la même, si le point C vient à se déplacer sur cette ligne, &c 11e sera pas zéro; mais, comme on a, par hypothèse ,
ht — ■ b,,
la variation de l’intégrale fu, dz sera nulle.
Il n'en est plus de même évidemment , lorsque la fonction ne reprend pas sa valeur initiale après une révolution de Z sur la ligne fermée; car alors la différence h, — b, cesse d’être nulle.
13. Je crois devoir répéter l'observation déjà laite au nu 7, que la ligne fermée dont il vient d’etre question n’est pas nécessairement le contour extérieur d’une aire limitée, comme serait une circonférence ou une ellipse, mais qu’elle peut se couper elle-même comine une lemniscate, et cela un nombre quelconque de fois. Il peut se faire encore qu’une même partie de cette ligne soit parcourue deux ou plusieurs fois dans une révolution accomplie par le point Z. Par exemple, on pourrait la composer des deux circonférences CLAM , BNP,yig. fi, et de la droite Ali, une révolution du point Z consistant à décrire successivement l’arc CLA, la droite AB, la circonférence BNP, la droite BA, et enfin l'arc AMC. L'habitude où l’on est d’entendre par ligne fermée un contour qui ne se coupe pas lui-mcine me fait insister sur ces remarques, afin qu’on ne restreigne pas inutilement l’étendue des théorèmes précédents [* |.
(* j I-es théorèmes des n" 9, 10, 1 1 oui été lionnes par M. Cauchy dans les Compta rtndus îles séaneat de l' Académie des Scienca, année 1846. Seulement l'illustre geomètre caractérise les points que le chemin parcouru ne doit pas franchir en disant que, pour ces points, la fonction devient discontinue : comme je me borne ici aux fonctions algébriques, j’ai cru donner plus de précision aux énonces et aux démonstrations en disant que les points dont il s'agit sont ceux pour lesquels la fonction a devient infinie ou racine multiple de l'équation
14. Sans rien changer aux démonstrations, on pent, dans les propositions qui viennent d'être établies, substituer à u, une fonction rationnelle de u, et de z, pourvu qu’elle ne devienne pas infinie le long du chemin suivi par le point Z. De là nous pouvons conclure le développement de u, en série.
Soient a, a', a *, etc., les valeurs de z pour lesquelles l’équation /(«,*) = o
a des racines égales ou infinies : nommons A, A', A", etc., les |>omts correspondants; joignons le point de départ C de Z aux points A, A', A", etc., par des droites, et appelons p une quantité positive moindre que la plus petite des longueurs CA, CA', CA", etc. Du centre C, avec un rayon égal à p, décrivons un cercle a qui ne renfermera aucun des points A , A', A", etc.
Considérons un point intérieur à ce cercle ou situé sur la circonférence la fonction u, peut acquérir en ce point diverses valeurs, suivant que le point Z, parti de C, y arrive par tel ou tel chemin; mais si l’on assujettit ce chemin à ne pas sortir du cercle a, la fonction u, ne pourra plus prendre ail point dont il s’agit qu’une seule valeur parfaitement déterminée ; car tous les chemins assujettis à cette condition se réduisent les uns aux autres sans franchir aucun des points A , A', A' , etc. Nous nommerons 9(2) cette valeur de la fonction u,, et c’est elle que nous allons développer en série, en suivant la méthode expliquée par M. Cauchy dans divers Mémoires.
Pour cela, nous prendrons dans l’intérieur du cercle c un point quelconque P; soit 7 la valeur correspondante de z L’expression
sera une fonction rationnelle de z et de 9(2) qui ne deviendra pas infinie, tant que le point Z ne sortira pas du cercle car, pour 2 = 7, elle se réduit à la quantité finie o'(y). Comme d’ailleurs cette fonction reprend la même valeur après une révolution de Z sur la circonférence du cercle s, l’intégrale
prise tout le long de cette ligne, sera, d’apres le 110 II, égale à zéro.
On aura donc l’équation
Jt(»)-T(7)</z = ° QU 1^,
les intégrales étant toujours prises le long de la circonférence c.
Mais l’intégrale J' peut être réduite, en vertu du n° 1 1 , à la
même intégrale^" dz i prise le long- d’une autre circonférence décrite du centre T avec un très-petit rayon t. Sur cette derniere, on peut faire
z — y = te
9 variant seul, de sorte qu’on ait
dz = 1e v d6 y — 1 ,
et, par suite,
L’équation précédente devient donc
a ir y — 1 1/ 1
Observons maintenant que sur la circonférence a le module p de z — c 4>t supérieur à la distance CT, ou, ce qui est la même chose, au module de 7 — c : l’expression
peut donc être développée en série convergente suivant les puissances croissantes de - — -» et l'on a
On en conclut
p-ëï = pm * 0 - + <» - •■'/iss -
Tcmc XV — Octom» (Ko.
où le second membre est mie série convergente. On a donc enfin l'équation
2ir V?— 1
qui donne le développement de 9 (y ) en série convergente suivant les puissances croissantes de y — c.
f 5. L’existence de ce développement une fois démontrée , on pourra en calculer les coefficients par le théorème de Taylor, qui donnera
On a dans cette équation
si, de plus, on appelle F, (u, z), F,(«, z), etc., les valeurs de 1 i • a . etc.» tirees des equations
<*« dz tlz ’ du dz1 + du' \<& ) "* ’ * '+' dF — °’ • • • i
les quantités etc., auront pour valeurs F, h, , c),
F, (A, , c), etc., et il en résultera
On voit clairement par ce qui précède quelle est celle des racines de l'équation
Jiu , s) = °
dont la formule (F) doune le développement : la série qui en est le second membre fournit la valeur pour z = y de celle des racines qui, se réduisant à b, pour z = c , varie d'une manière continue avec z, en supposant que le point Z aille de C en T sans sortir du cercle a, c’est-à-dire en supposant que la distance CZ reste toujours moindre que la plus petite fies distances CA , CA', CA*, etc. La formule ne peut
s’appliquer qu'aux valeurs de y telles, que le module de y — c soit inférieur à celte plus petite distance; la notation 9 (y) n’a même un sens déterminé qu’à cette condition, n° 14.
IB. Soit maintenant k une valeur quelconque de z et K le point correspondant : supposons que le point mobile Z arrive en K par un chemin CMK ,/Sjg. 7 , qui ne passe par aucun des points A, A', A", etc.; on pourra calculer comme il suit la valeur h, de la fonction u, pour z — k.
Du centre C on décrira un cercle qui laisse en dehors de lui les points A, A', A”, etc. Si ce cercle renferme tout le chemin CMK , on obtiendra h, en remplaçant y par k dans la formule F). Si le contraire arrive, la circonférence coupera la ligne CMR en un on plusieurs poiuts : soient C' celui de ces points où Z arrive en premier lieu et c' la valeur correspondante de z; on obtiendra la valeur b\ de u, au point C' en remplaçant dans la formule (F) y par c'. Le chemin CMK. se trouve partagé par ce point en deux parties, l’une CMC' et l’autre C'M'K : du centre C' on décrira un second cercle qui laisse en dehors tous les points A , A', A", etc. Si ce cercle renferme tout le chemin C'M'K , on obtiendra h, en remplaçant dans la formule (F c par c', b, par b\ et y par k : si le contraire arrive , la circonférence coupera le chemin C'M'K ; soient C" celui des points de rencontre où Z arrive en premier lieu et c" la valeur correspondante de z. On obtiendra la valeur b\ de u , au point C'en remplaçant dans la formule (F) c par c', h , par b\ et y parc". Le chemin C'M'K est maintenant partagé par ce point en deux parties C'M'C" et C'M'K : du centre C' on décrira encore un troisième cercle qui laisse en dehors tons les points A, A', A", etc. En répétant cette construction un nombre limité de fois, on arrivera a un cercle décrit du centre 0"' et qui renfermera complètement le chemin C‘"M”K; alors on obtiendra h, en remplaçant dans la formule (F) c par c,mt b, par b " et y par k.
Les poiuts C et K restant fixes, si l’on déiorme la ligne CMK sans lui faire franchir aucun des points A , A', A", etc , la quantité h , reste la même. On pourra prohter de cette circonstance et aussi de l'indétermination des rayons des cercles pour faciliter le calcul de h, ; mais nous omettrons ces détails pour abréger.
38o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
17. Au lieu du développement donné par la formule (F), lequel est applicable tant que le point Z ne sort pas d’un certain cercle , on peut en former une infinité d’autres dont chacun sera exact dans toute l’étendue d’une courbe fermée différente du cercle.
Appelons <|> (z) une fonction rationnelle de z qui s’annule pour z — c : si l’on fait , comme précédemment, : = x+j \J — i, le module dei|»(z), que nous représenterons par mi|i(i), sera une fonction de x et de j, et l’équation
où / désigne une constante positive , appartiendra à une courbe algébrique. Comme au point C on a
miji(z) = o,
il est aisé de voir que, pour des valeurs suffisamment petites de /, une des branches de cette courbe devra se réduire à un contour fermé s dans l’intérieur duquel se trouve le point C [*].
Supposons maintenant que l croissant depuis zéro jusqu’à une certaine valeur X, le contour s , qui, pour l = o, se réduisait au point C, aille toujours en s’élargissant et coïncide, pour / = X, avec la courbe fermée cr. Admettons aussi que sur la courbe a ou dans son intérieur on ne puisse avoir
sans qu’on ait en même temps
«pie la dérivée de <1/ (zi ne s’annule pas dans ces mêmes limites, et, , enfin, que tous les points A, A', A", etc., soient eu dehors de cette courbe. Toutes ces conditions seront remplies si l’on prend X assez petit.
Cela posé, si l’on assujettit Z à ne pas sortir du contour 17, la fonction u, 11e pourra acquérir en chaque point qu’une seule valeur, quel que soit le chemin par lequel on y arrive. Nous appellerons y (1) cette valeur unique, et nous allons montrer qu’on peut la développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances de iji (z).
1*] Dans le» Com/iU , rendus de l’Académie, tome IV, page 777, M. Cauchy examine comment le» diverse» branche» de cette courbe se transforment et se reunissent , lors«|ue le module / rrnît de zéro à l’infini.
Prenons dans l’intérieur du contour a un point quelconque T, et nommons y la valeur correspondante de z. L’expression
■.era une lonction rationnelle de z et de f (z) qui ne deviendra pas infinie tant que le point Z ne sortira pas de ce contour; car, pour
z = y, elle se réduit à la quantité finie Comme, d'ailleurs, celte
lonction reprend la meme valeur après une révolution de Z sur la courbe a , l’intégrale
Tl») — r(7) j.
prise le long de cette ligne, sera égale à zéro. On aura donc
r dt — C ? w dt f 71 J +(*)-♦<») ~ J +(*)—+(»)’
d'oii
9 (-,) = Jjù 7* (t).
les intégrales étaut toujours prises le long du contour a. L’intégrale
s'évalue aisément : ou a, en effet,
’K*) — +(7) Vb) * — 'i
si (*) désignant une fonction rationnelle de z qui reste finie dans tout l'intérieur de a ou même sur cette courbe; il en résulte
/ +(»)-+(t) = FTH /«-ÿ + J
En vertu du n° 1 1 , on a
fa(z)c/z=o;
quant à l'intégrale j - , on n’en change pas la valeur en la suppo-
sant prise le long d’une circonférence décrite du centre T avec un rayon t res-petit e, ce qui permet d’y faire
z — 7 = te
9 variant seul : on a donc
et , par suite,
/dt a t? i
Observons a present que sur la courbe a le module de i|i(s) est égal à ) , et . par conséquent , supérieur à celui de •]/ (y) ; l’expression
peut donc être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de tjfj’ ct l’on a
J , 1(7) , Vh) .
( >11 en conclut
r jnù± = + riio* + a,./-» +
