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et , par suite ,
où les intégrales jieuvent être maintenant prises le long d’un contour fermé quelconque renfermé dans la courbe 7 et enveloppant une fois le point C.
En réduisant ce contour à une circonlérence d’un rayon tres-petit ayant le point C pour centre , on prouve facilement que l’intégrale
f ^77!-* est égale à iitr.v'- 1, r„ désignant ce que M. Cauchy appelle le résidu de la fonction /n relatif à a = c. L'équation précédente |>eut donc s'écrire
?(y) = f (7) fr- •+• r*'Hv) -+• '••+’(7) ■+■ •••]•
Cette formule, qui s'étend à tous les points du contour 7 et de son intérieur, donne l’expression de f<y) en une série ordonnée suivant les puissances de {y).
En y faisant
on retrouve la formule (F); pour en donner une autre application , prenons
c’ désignant la valeur de z qui répond au point (7 : l'équation m (z — c) (z — o’) — l
représente le lieu des points tels, que le produit de leurs distances aux points C et C soit égal à l. Pour des valeurs de l moindres que
A1, A étant la distance CC', le lieu se compose de deux courlies fermées : une de ces courbes enveloppe le point C, elle va en s’élar-
gissant à mesure que l augmente; et pour / =; ^ A*, elle devient la
moitié POQ ,Jig- 8, d’une lemniscate ayant pour foyers les points C et C'. Si tous les points A, A', A', etc., sont sur cette demi-lemniscate ou en dehors, on pourra prendre pour le contour 7 la courbe fermée
infiniment voisine qui répond a/= -i* — t, 1 désignant un infiniment
petit positif; car il est aisé de voir que toutes les conditions énoncées ci-dessus seront remplies. En effet, la dérivée a z — c — c1 de v|<(z)
ne s'annule que pour la valeur s = 911' répond au point O
extérieur au contour 7 : de plus, l’équation
donne ici pour z! les deux valeurs z' = z, z* = c 4- d — z, et si le [joint qui répond à la première valeur est situé en dedans du contour». celui qui répond à la seconde sera en dehors, puisque ces deux points sont placés symétriquement par rapport au point O.
On aura donc l’équation
r. désignant le résidu relatif à z = c de -, , et cette for-
mule sera applicable tant que le point T correspondant k z = y sera dans l’intérieur de la dcmi-lemniscate POQ.
Ajoutons qu’en suivant la marche tracée au n° 16, on pourra se servir de ces nouveaux développements pour le calcul de la fonction u, à l’extrémité d’un chemin donné.
