DEUXIÈME PARTIE

18. Noi is avons établi que la valeur de la fonction », au point R reste la meme, quand le chemin CMR suivi par le point Z vient à se déformer sans franchir aucun point pour lequel cette fonction devienne infinie ou racine multiple de l’équation

nous avons ensuite donné le moyen de calculer cette valeur de »,, lorsque le chemin C.MR est connu. Mais si ce chemin, en se déformant, franchit un ou plusieurs des points dont nous venons de parler, la valeur de », pour le point R changera généralement : il nous faut examiner comment ces diverses valeurs de », se changent les unes dans les autres.

Pour plus de clarté, nous supposerons d’abord que le coefficient de la plus haute puissance de u dans le polynôme /(u, z) soit indépendant de z; alors les valeurs de » tirées de l’équation

ne peuvent devenir infinies pour des valeurs finies de s.

Soit maintenant A un point pour lequel p racines de l'équation /(«, z)= o

deviennent égales : nommons b la valeur commune de ces racines et a la valeur de - au point A. Décrivons autour de ce point un contour fermé de dimensions infiniment petites CLMC,jîg. g [*]j prenons-y un point C pour position initiale du point mobile Z; appelons u, , up les p fonctions de z qui satisfont k l’équation

et qui se réduisent pour la position initiale C de z aux p racines trespeu différentes de b de l’équation

On sait qu’aprés une révolution de Z sur le contour CLMC les fonctions de z, qui satisfont à l'équation

et dont les valeurs au point de départ diffèrent infiniment peu des racines simples de l’équation

reprennent leurs valeurs initiales : voyons ce qui arrive aux fonctions

Observons que, (>our u = b, les polynômes

Tu ’ du' dur

doivent s’annuler, mais que la dérivée suivante doit prendre

une valeur A différente de zéro. Si donc dans l’équatiou

[*) Nous supposerons dans ce qui va suivre que la ligne infiniment petite CLMC ne fait qu’une seule circonvolution autour du point A, c’est-à-dire que l'angle polaire formé par le rayon vecteur AZ avec une direction fixe varie seulement de sir, pen dant une révolution de Z sur le contour CLMC.