Tome XV. — Octobre i#5o

on pose

u — b - h fi, z — a 4- a,

file prendra la forme

(i) A/3'4-2BjS»«r = 0,

le signe ^ désignant une somme de termes dans lesquels les exposants q et r sont entiers et positifs; dans les termes où r est nul, q est plus grand que p, et il y a nécessairement un terme au moins où, q étant nul, / ne l’est pas; autrement l'équation (i) serait divisible par ou , ce qui est la même chose, l'équation /(«, s'! = o

serait divisible par u — b, et, par conséquent, ne serait pas irréductible.

Le point Z étant supposé infiniment voisin de A , le module de la différence z — a — a sera infiniment petit, et, parmi les valeurs correspondantes de u, tirées de l'équation

il y en aura p telles, que le module de la différence u — b — fi soit infiniment petit. Si l’on veut les déterminer, il faudra chercher les p valeurs infiniment petites de [5 qui satisfont a l'équation (t), et, pour les obtenir approximativement, il suffira de conserver, dans cette équation , les termes de l’ordre le moins élevé.

Commençons par le cas le plus ordinaire , celui où la dérivée

ne s’annule pas pour z=a, u=b; alors il y a, dans l’équation (t), un terme de la forme Bœ, et il est clair que les deux termes A et Ba sont d’un ordre moins élevé que tous las autres. Les p valeurs cherchées de (5 sont donc données approximativement par l’équation

Aj3f-i-Ba = o, ou fip = Aa,

en faisant — 5= h. Or, si l’on pose a = peT'l~‘, p désignant la distance AZ et t l’angle qu’elle fait avec la direction des x positives; si,

de plus, on représente par (bp)P une des valeurs de V^'p, les p valeurs de jS, qui satisfont à l’équation

Pp = ha,

seront

P, = (hp)'er''~', p, = (hpÿe~r

1 t -i-4» y r-ea(/>-i)g -

P,=(hp)Pe p p P = (hp)re p

I-orsque le point Z, apres avoir fait une révolution sur le contour CI.MC, est revenu à sa position initiale C, le rayon vecteur p est re-

devenu le même sans avoir passé par zéro; le facteur (hp)r a donc repris sa valeur initiale. Mais l’angle t a augmenté de an, et, par conséquent, jS, a acquis la valeur initiale de p,, p, a acquis celle de (3,, et ainsi de suite, jusqu’à pp qui a pris celle de p,.

Ces conclusions sont rigoureuses, bien que les valeurs précédentes de p,, p,,..., pp ne soient qu’approchées En effet, nommons maintenant p, , p,,..., pp les valeurs exactes de ces fonctions; l'erreur commise sur chacune d’elles dans les formules précédentes est un infiniment petit d’un ordre supérieur à -• en regardant p comme du

premier ordre. Mais le système des valeurs de p fournies par l'équn tion (1) doit se retrouver le même quand le point Z est revenu à son point de départ. Si donc la valeur finale de p,, après une révolution de Z, n'était pas exactement égale à la valeur initiale de p1% il faudrait qu’elle fût égale à la valeur initiale de quelque racine de l’équation (il autre que p or cela est inqiossible, puisqu’elle différerait de cette valeur initiale ou d’une quantité finie, ou d’1111 infiniment petit de

l’ordre qui 11e peut être nul tant que p ne l’est pas. On voit de

même que la valeur finale de p, est rigoureusement égale .1 la valeur initiale de p} , et ainsi de suite. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si la dérivée ' 1 ne se réduit pas à zéro pour z — a, u — b, les fonctions u,, u,,..., up,tjui deviennent égales à b au point A, peuvent

être rangées sur un cercle de façon qu après une révolution de Z sur un contour infiniment petit tracé autour du point A , la valeur finale de chacune d'elles soit égal ■ à la valeur initiale de la suivante.

C’est ce que nous énoncerons d’une manière abrégée en disant que ces fonctions forment autour du point A un système circulaire composé de p termes.

On a admis dans la démonstration que le point Z parcourait le contour CI. MC dans le sens où l’angle polaire t augmente et que nous appellerons le sens direct : s’il le parcourait en sens contraire, les valeurs finales de u, , up seraient respectivement les valeurs

initiales de up, u, , «a Mp,.

Si le point Z faisait dans le sens direct deux révolutions au lieu «l'une, les valeurs final»» «les fonctions ««,, up seraient respectivement égales aux valeurs initiales de u„ u , : après trois révo-

lutions, elles seraient égah-s aux valeurs initiales de u,, u,,..., u, , et ainsi de suite. Ce n’est qu’après p révolutions du point Z que ces fonctions auront repris leurs valeurs initiales.

lit. Lorsque la 1 1 ««rivée tÙJLill s’annule pour z — a, u — h, les

propositions précédentes ne sont plus toujours exactes : pour savoir ce que les racines deviennent dans ce cas apres une révolution du |>oint Z, revenons à l'équation (i) et cherchons à v mettre en évidence les termes de l’ordre le moins élevé. Soit T un terme quelconque; il 5 aura deux cas à «listinguer: ou bien il n’existera dans l’équation (i) aucun autre terme dans lequel les exposants de a et de p soient à la fois moindres que dans T (run des deux pouvant être égal ), ou bien il existera de pareils termes. Appelons A la somme des termes T qui sont dans le premier cas et A' la somme des autres, de sorte qu’on ait

les ternies de l’ordre le moins élevé se trouveront certainement dans le groupe A. D’ailleurs, si l’on range les termes de A «lans un ordre tel , que les exposants de p aillent en diminuant , les exposants de a devront aller en augmentant, sans quoi les exposants de « et de p dans un de ces termes seraient respectivement moindres que dans un

PURES ET APPLIQUÉES. 38q

autre, et alors ce dernier ferait partie du groupe A'. Si donc ou désigne par p, p , , pt,-.., des nombres entiers décroissants, et par <7 1, .7,,..., q i des nombres entiers croissants, A sera de la forme

A = + A, ■+■ AJ/3'’>a,> + ...4- A .

Voici maintenant la question qui se présente : Dans le polynôme A , choisir de toutes les manières possibles un groupe de deux ou de plusieurs termes tels, qu’en y regardant a comme un infiniment petit du premier ordre et |3 comme un infiniment petit d’un ordre convenable . ces termes soient d’un même ordre inférieur à celui de tou? les auties termes du polynôme.

Quand on aura trouvé tous ces groupes, on formera, en les égalant à zéro, des équations dont chacune déterminera approximativement une ou plusieurs des p valeurs infiniment petites de |3.

Supposons donc qu’en regardant /3 comme de l’ordre p, les deux ternies

A!/,(S '’/a’/, A'*’/3#VaV,

soient d’un même ordre, et que tous les autres termes de A soient d’un ordre au moins égal ; on aura

PP/ + <]/ = PP* + ll* •

et, pour toutes les valeurs de h autres que J et g ,

PP* -h > PP/+ <//i

le signe > n’excluant pas l’égalité. (Pour que ces notations s’appliquent aux termes extrêmes de A , on supposera p0= p, </„= o, p,= o.)

On rend l’interprétation de ces conditions plus facile en leur donnant une signification géométrique. Regardons les nombres entiers p , et qk comme l’abscisse et l’ordonnée d’un point que nous appellerons M»; alors le point M0,/ig. 10, sera sur l’axe des x. le point Mf sur l’axe des y, et tous les autres points M* dans l’angle des coordonnées positives. De plus, la droite qui joint deux quelconques de ces points M*, M, rencontrera les axes des x et des y du côté des coordonnées positives; cela résulte de ce que si l’abscisse pk est plus

grande que l'abscisse />/, l’ordonnée 7* sera moindre, au contraire ,

que l’ordonnée 7/.

D’un autre côté, si l’on construit la droite OL dont le coefficient angulaire est la quantité exprimera la projection de OM*

sur OL, et puisqu'on doit avoir

PP/-+- ?/ = N’g ■+■

on voit que les projections de OM, et de OM, sur OL doivent être égales, ou ,'en d’autres termes, que OL doit etre perpendiculaire sur la droite MrMf De plus, on doit avoir

7* > PPf+Vf'

par conséquent, la projection de OM* sur OL doit être supérieure ou au moins égale à celle de CM/. En d’autres termes, le point M* doit être par rapport à l’origine au delà de la droite MyN^, on du moins sur cette droite.

Ainsi, pour obtenir dans le polynôme A les groupes de termes définis ci-dessus, ou, ce qui revient au même, pour connaître ceux «les points M„, M,, M, , etc., auxquels correspondent les termes de ces groupes, on cherchera de toutes les manières possibles deux points M* tels, qu’il n’y en ait aucun autre situé, par rapport à la droite M, M, qui les joint, du même côté que l’origine. Sur cette droite pourront se trouver encore d’autres points M*, M,, etc. : alors un des groupes demandés sera

G = A:/l/3 Al?'/5,’*a*»-+- A,*'jS'*a»*-H \ih si l'on détermine le nombre p. par l’équation

et qu’on regarde (3 comme étant de l'ordre ;j. , tous les termes de ce «roupe seront d’un même ordre pp/- 1- 7/ inférieur à l’ordre de tous les autres termes de A, et, par conséquent, de tous les autres ternies de l’équation (1).

PURES ET APPLIQUÉES. 3gi

Pour former les groupes G sans en laisser échapper aucun, on pourra procéder comme il suit. Par le point M0 , Jig. 1 1, on imaginera une droite coïncidant d’abord avec l’axe des x , et on la fera tourner autour de M0 dans un sens tel, qu’elle rencontre la partie positive de l’axe des y. On arrêtera ce mouvement de rotation dès que la droit» mobile passera par quelqu'un des points M(, M, , etc. : à ce moment elle en pourra contenir plusieurs, et, si nous les nommons M, , Mç, ... , M,, lesindices e, Ç,..., ri étant rangés par ordre de grandeur, les termes de A correspondants aux points M», M,, M; , ... , M,. formeront un premier groupe. Faisons maintenant tourner la droite mobile, toujours dans le même sens, mais autour du point M,, jusqu'à ce qu’elle atteigne quelqu'un des points etc., et soient

M,, M,,..., M, les points qu’elle renferme dans cette nouvelle position : les termes de A correspondants aux points M,, M*, . . . , M, composeront un deuxième groupe. Faisons encore tourner la droite inobiltautour de M,, jusqu’à ce quelle atteigne de nouveaux points M,,..., M, ; nous obtiendrons un troisième groupe formé des termes correspondants aux points M,, M,,..., M;, et ainsi de suite. On continuera jusqu’à ce que la droite mobile passe par le dernier point M, : les divers groupes ainsi formés seront :

G, = Ap -t- A (3 a +... + A P'a’,

(o) Pa », G» = A p ° a

où l’on peut remarquer que le premier terme du premier groupe G, est indépendant de a; que le dernier terme du dernier groupe G„ est indépendant de P; et, enfin, que le dernier terme de chaque group* est en même temps le premier terme du groupe suivant [*].

[ * ] La règle qu'on vient de donner pour le mouvement de la droite mobile subsisterait encore , si, outre les points M correspondante aux termes de A, on avait encore

Si maintenant on égale successivement ces divers groupes à zéro, on aura les équations qui fournissent, approximativement, les valeurs infiniment petites de fi. L’équation

divisée par fi \ nous donnera p — pn, valeurs de fl, qui seront de

l’ordre — — ; de même l’équation P P n

divisée par fi * a ”, fournira pr — p,, valeurs qui seront de l'ordre — — — : puis l'équation

divisée par f l'a', en donnera p. — p,, de l’ordre — ’ et ainsi

P,~ Pi

de suite Enfin , de l'équation

divisée par a ”, on tirera pa, valeurs de jS, de l’ordre — — • Le

nombre total de ces valeurs infiniment petites de f est

ou simplement p, comme cela devait être.

Il suit de la construction expliquée ci-dessus, que le polygone M0 M, M, . . . M0 Mi est convexe et tourne sa convexité vers l’origine ; les valeurs numériques des coefficients angulaires des droites Mc M,, M, M,, M. Mj, . . M0 Mi vont donc en augmentant, de sorte qu’on a

P — P, P, -P. P, — Pi P o

le signe < excluant l'égalité. Ainsi, les valeurs infiniment petites de j3

construit ceux qui répondent aux different» terme» de A' ; car aurun de ceux-n ne peut être, par rapport & la drone mobile , du même côté que l’origine. La separation du premier membre de l’équation (i) dans le» deux polynômes A et A' n’est donc pas indispensable pour la reeherrhe de» groupes G,, G,, etc. ; mais elle l’abrège.

fournies par l’équation

sont d’un ordre moindre que celles qu’on tire de l’équation

cei levci , à leur tour, sont d’un ordre moindre que celles qui sont données par l’équation

et aiusi de suite.

Considérons en particulier une de ces équations, par exemple l’équation

qui peut s’écrire

L’ordre p des valeurs de /3 qu’on en lire étant, comme on l’a vu , égal » si l’on appelle r et s les quotients de 9, — 9, et de p, — p, par

leur plus grand commun diviseur 9, on aura

d’ailleurs, tous les termes de l’équation précédente étant du même ordre, on a

p(p„ — P<) = MP* — P‘) + 9» — 9» = ••• = il en résulte, en multipliant par s, r( p , - p.) = r(p« - p() -t- -?„) = •••= s(<j, - 9,) = rsf.

On voit, par là, que la somme r(p« — p.) s (g, - 9,) étant divisible par s, ainsi que la partie s(q6 — ?,), l’autre partie r{p, — p ,) doit

l’être aussi , et comme s est premier avec r, — - — - doit être un nombre

entier <]». Dans l’équation

r(p« - p,) ■+■ s(q, -9,) = rs<f,

remplaçons p« — p, par 5+, et il viendra

Tom» XV . — N onnu 18S0. 5o

l’équation

peut donc se mettre sous la forme

A(',)/3*'+ ^ fi‘* +...+ A(Vf =o,

ou bien , en posant j3* = ar x ,

Cette équation détermine pour ar un nombre de valeurs toutes différentes de zéro, que nous désignerons par A,, h,,..., h„ , et que nous supposerons d'abord toutes inégales. Si nous prenons x = A,,

et que nous fassions, comme ci-dessus, a = pex ', la relation j3* = ar x nous donnera pour fi les s valeurs suivantes :

I 1— 1 f[r-ea(i-i)«] /— J

où ( h,pr)’ désigne une quelconque des valeurs de \h,pr. En -remplaçant successivement dans ces valeurs A, par A,, A,,..., Ap, lions aurons toutes les valeurs approchées de fi au nombre de .t y = p — pr , qui correspondent à l’équation

Txirsque le point Z, après une révolution dans le sens direct autour du point A, revient à sa position initiale C, p est redevenu le tnéiue

sans avoir passé par zéro, et, par conséquent, le facteur [h, p')‘ a repris sa valeur initiale. Mais l’angle r a augmenté de in : chacune des s valeurs de fi qui composent la suite (3) est donc devenue égale à la valeur initiale de celle qui la suit. Cette conclusion est rigoureuse, bien que les expressions (3) ne soient qu’approchées; en d’autres termes, si l’on appelle |3* et les valeurs exactes des deux fonctions

PITRES ET APPLIQUÉES, de a qui ont pour valeurs approchées

1 /— * f(r4 a kx ) -

(htp')‘e ’ (htPre ‘

je dis qu’aprés une révolution de Z sur le contour très-petit CLMC, fig. 9, la valeur finale de /3* sera exactement égale à la valeur initiale de ,rJ1+1.

En effet , le système de toutes les valeurs de fi doit se retrouver le même après une révolution de Z, et, par conséquent, la valeur finale de doit être égale à la valeur initiale de quelque autre racine |S' de l’équation (1). On voit d’abord que fi’ doit, comme fik, se réduire k zéro avec a , et qu’ainsi elle doit être donnée approximativement par une des équations

de plus elle doit être, comme |3*, un infiniment petit de l’ordre

- = — — — ; il faut donc qu’elle réponde à l’équation 1 P k Pt

puisque les racines qui répondent aux équations

sont , ainsi qu’on l’a vu , d’ordres différents. Maintenant, dans les formules (3), les erreurs commises sont des infiniment petits d’un ordre

supérieur à r; la fonction /3' ne peut donc être que (9*^.,, sans quoi sa valeur initiale, qui doit être égale à la valeur finale de fik, en différerait par une quantité de l’ordre r-

On voit par ce qui précède que les valeurs infiniment petites de /3 données par l’équation

se partagent en 9 groupes correspondants aux racines h ,, A,,..., h. de l’équation (a), et que les .r fonctions qui composent un même groupe

3p6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

peuvent être rangées circulairement dans un ordre tel , que chacune d'elles devienne égale , après une révolution de Z, à la valeur initiale de la suivante. En d’autres termes, chacun de ces groupes est un système circulaire, n" 18.

On peut appliquer la même méthode à toutes les équations G, = o , G, = o,..., G„ = o.

Nommons <p , le plus grand commun diviseur de p — p, et de r/,, f„ celui de p, — p, et de q, — 17,, y, celui de p, — px et de q* — q, , et ainsi de suite; enfin, celui de pa et de q, — qa: appelons s„ s„ s,,..., su

les nombres entiers — — — !» — -, — ,•••» — Nous trouverons

que les valeurs infiniment petites de fi données par l’équation

se partagent en ç, systèmes circulaires composés chacun de s, termes : de même, les valeurs données par l’équation

se partagent en systèmes circulaires de s, termes, et ainsi de suite jusqu’aux valeurs données par l’équation

lesquelles se partagent en y* systèmes circulaires de su termes. Rappelons-nous maintenant qu’en vertu des relations

z = a + a , u — b + fi,

les valeurs de fi qui s’annulent avec a correspondent aux fonctions u,, n,,..., up de z qui se réduisent à b pour z — a, et nous en conclurons que les fonctions de z désignées ci-dessus par u,, u, , up peuvent toujours être partagées en un certain nombre de systèmes circulaires relativement au point A. Observons que le nombre de ces systèmes peut se réduire à l'unité: s’il y en a plusieurs, le nombre des termes qui les composent |>eut varier d’un système à l'autre; enfin il peut y avoir des systèmes qui ne soient composés que d’un seul terme. Ajoutons qu’il est permis de comprendre dans l’énoncé précédent

non-seulement les fonctions uf dont les valeurs initiales dif-

ferent infiniment peu de b , mais encore les autres fonctions up+r> etc- 1 dont les valeurs initiales sont très-peu différentes des racines simples de l’équation

Car chacune de ces dernières , reprenant sa valeur initiale apres une révolution du point Z sur le contour CLMC, peut être regardée comme formant un système circulaire composé d’un seul terme. Nous arrivons donc à la proposition suivante :

Les diverses fonctions u,, um qui satisjont à l'équation

peuvent toujours se partager , relativement nu point A, en un certain nombre de systèmes circulaires.

*20. On a admisdans la démonstration précédente que l’équatiou (a) et les autres équations pareilles qui correspondent aux polynômes G, , G,,..., G t, avaient toutes leurs racines inégales. Supposons à présent que l’équation (a) ait t racines égales à A,; alors chacune des formules de la suite (3) donne à la fois l’expression approchée de t valeurs de fi , et pour les distinguer, il faut recourir à des expressions plus approchées des st valeurs de fi correspondantes à la racine h,. Pour cela , on posera

a. — a", fi = h\ a" -h fi‘ ;

on substituera ces valeurs dans l’équation (1), et l’on obtiendra entre a' et fi' une équation (1'), qui devra fournir st valeurs de fi' infiniment petites, d’un ordre supérieur au nombre r, a' étant regardé maintenant comme du premier ordre. On appliquera à l’équation (1') la même méthode dont on s’est servi pour distinguer, dans l’équation (1) , les termes de l’ordre le moins élevé; on trouvera ainsi, pour déterminer approximativement fi', des équations analogues aux équations

G, = 0, G, = o, etc.,

et l’on ne conservera que celles qui donnent (tour fi' des valeurs d’un ordre supérieur à r.

Soit G' = o une de ces équations; on pourra trouver deux nombres entiers r' et / tels, qu’en faisant fi"'= a,r' x', l’équation G' — o prenne la forme

(a') A'xV-t- B'x'é'-t- ... = o,

analogue a l’équation (a) Admettons que l’équation lu') n’ait pas de racines égales, et soit h' une de ses racines. Parmi les st valeurs de ft dont nous nous occupons, il y en aura ss1 qui seront données, approximatiyeinent , par les formules

a" = a , fi" =a’r h', j3=A’a'r + p',

ou, ce qui est la même chose, par l’équation

ht p"’ e

k désignant un des nombres o, 1, a, ..., s — 1, et un des nombres o, 1, a,..., s'— 1.

Représentons le second membre par fit,*; les m' valeurs dont il est susceptible pourront être rangées circulairement dans l’ordre suivant :

fio.oi fil. o> fia, o»***? fii~ i.o» fio.it fii.it fi 1. u**o fit— 1. 11 fio.ti-i fio./-it fii,f-n fia.t'-if-i fit-i.t'—i-

Si maintenant nous supposons que le point Z fasse une révolution dans le sens direct sur le contour CLMC, Jig. 9. l’angle r croîtra de an, et chacune des valeurs de fi comprises dans la suite qu’on vient d’écrire deviendra égale à la valeur initiale de la suivante : elles forment donc un système circulaire. Aux diverses racines h1 de l’équation (a') répondront de semblables systèmes de valeurs de fi, et, par conséquent, la proposition énoncée à la fin du n° IR 11e cesse pas d’être vraie dans le cas qui nous occupe.

Si l’équation (a') avait elle-même des racines multiples, par exemple f racines égales à //', il répondrait à cette racine «T valeurs de fi, et chacune des expressions de la suite (3') serait la valeur approchée de

f d’entre elles. Alors on ferait

on substituerait ces valeurs dans l’équation (1) et l’on obtiendrait, entre a" et Çi“, une équation (1*) qui devrait fournir, pour (3”, ss't' valeurs infiniment petites d’un ordre supérieur à r1, a" étant regardé comme du premier ordre. On continuera l’application de cette méthode, jusqu’à ce qu’on ait des expressions approchées distinctes pour toutes les valeurs infiniment petites de /3 , et cela arrivera nécessairement , sans qtioi il y aurait des valeurs de (3 égales entre elles, quel que fût a, c’est-à-dire de* valeurs de u égales entre elles, quel que fut z, et l’équation

ne serait pas irréductible. On voit en même temps, par la forme de ces expressions approchées, que les valeurs de /3 se partageront toujours en systèmes circulaires; nous pouvons donc conclure enfin que la proposition du n° 19 est vraie dans tous les cas.

181. Nous venons de prouver que les fonctions de * désignées par u,, u p , se partagent toujours en un certain nombre de systèmes

circtdaires; nous avons donné, de plus, une méthode pour effectuer ce partage. Il ne sera pas inutile de faire voir que la même méthode fournit les expressions de ces fonctions en séries convergentes ordonnées suivant les puissances fractionnaires de z — a.

Lorsque le nombre p se réduit à l’unité, on retombe sur le cas déjà traité au n” 14 , où la fonction u, se développe suivant les puissances entières de z — n. Passons au cas du n° 18, où le nombre p étant

quelconque, la dérivée 1 est supposée ne pas s’annuler pour

Conservons les notations de ce numéro; seulement, mettons l’équation (1) sous la forme

Ba -t-2)C/3*«r=o,

où r ne peut être nul, à moins que q ne soit plus grand que », et

4oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

où q ne peut être nul, à moins que r ne soit plus grand que i. Faisons a = cl'p, oc' désignant une nouvelle variable; les p valeurs infiniment petites de [3 seront du même ordre que oc': si donc on pose ,9 = a.' v, les p valeurs correspondantes de v seront finies. L’équation (i) devient alors, en la divisant par a'p,

(4) Av'-t- B = °,

où l’exposant (r — i) p -+- q est au moins l’unité: on voit bien que pour oc' = o, elle donne p valeurs de v finies et inégales que nous appellerons y,, 7,,..., yp et qui sont les diverses valeurs de y/ A* Sl

maintenant nous appelons v„ la fonction continue de a' qui, satisfaisant à l’équation (4), se réduit à yn pour a' — o, nous conclurons du n° 14 qu'elle peut se développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières de cl', tant que le module de a.' reste inférieur au plus petit des modules des valeurs de cl' différentes de zéro qui font acquérir à l’équation (4) des racines égales ou infinies. Nous pouvons donc poser, dans ces limites,

e. = y. + a„ a' -+- -4- c. oc" + ...,

ou les coefficients an, b„, cm, etc., sont des fonctions rationnelles de 7„ et des coefficients de l’équation (4) et s’obtiennent sans difficulté par le théorème de Taylor. Nous aurons, par conséquent, en appelant (3 , la valeur correspondante de j9 ,

jB,= 7.a'-t-flna‘*-t- oc" -t- c„oc" +...,

ou bien

P, = y„a’’+ anap+ b,CLp-h c\aF +....

Comme le module de a augmente ou diminue en même temps que celui de oc', cette formule sera applicable tant que le module de a sera inférieur au plus petit des modules des valeurs de a autres que zéro, qui font acquérir des racines égales à l’équation (i). En d’autres termes, tant que le point Z sera renfermé dans le cercle décrit du point A comme centre avec la plus petite des distances AA', AA’, etc..

PURES ET APPLIQUÉES. 4oi

pour rayon , on aura l’équation

1)34 «» = 7» (2 — «Y ■+■ fin (2 — f*Y + b„(z — a)p -+- ca (z — a)p + “"

En y remplaçant successivement l’indice n par chacun des nombres 1, a,..., p, on obtiendra les expressions des p fonctions u„ up

en séries convergentes ordonnées suivant les puissances fractionnaires de z — a.

22. Supposons maintenant, connue au n“ 19. que la dérivée ~ ' s’annule pour u = a< z=A, de sorte que le terme Ba

manque dans l’équation (1). Considérons, en particulier, les s*p valeurs infiniment petites de p qui sont données approximativement par l’équation

et observons que l’équation (1), à laquelle elles satisfont exactement, peut se mettre sous la forme

G,+2cPV=o,

les termes de la somme V étant d’un ordre plus élevé que ceux de G,, quand on regarde a comme du premier ordre et jS comme de l’ordre fi = f : cela revient à dire qu’on aura

| J* fl »fl

ou bien

le signe > excluant l’égalité.

Faisons maintenant a = a" ; les valeurs de p dont nous occupons seront du même ordre que a'r, et si nous posons p — a">, les .v© valeurs correspondantes de t» seront finies. L’équation (1) devient alors,

en la divisant par a'^'1 ^ ,

(») r (•) pf (■) p

'Ce a'