Tome XV. — Notmmi i85o

ou bien , en désignant par i un nombre entier au moins égal à i ,

(5) v 1a v -+- A v -t-...-t-A )+2Cl’^:=0-

On voit, en effet, que, pour a' = o, cette équation se réduisant à

donne pour v un nombre s ÿ de valeurs finies et différentes de zéro : en désignant comme ci-dessus par h,, h,,..., hf les racines de l’équation (a), celles de l’équation (6), que nous appellerons y,, y,,..., y,F,

ne seront autre chose que les diverses valeurs des radicaux \/b, ,

V/Â,,..., elles seront donc toutes inégales, si l’équation ta) a

elle même toutes ses racines inégales, ce que nous supposerons d’abord.

Nommons la fonction continue de a' qui, satisfaisant it l’équation (5), se réduit à y„ pour a? = o; ou pourra, d’après le n° 14, la développer suivant les puissances entières de a', tant que le module île a' restera inférieur au plus petit des modules des valeurs fie a' autres que zéro qui font acquérir à l’équation (5) des racines égales ou infinies. Soit donc, dans ces limites,

‘'ii = y» +a„a' - 1- /i.ot" + ... ;

il s’ensuivra, en appelant la valeur correspondante de

ou bien

pfi = 7»a* •+• «„* * -I- bna • -h....

Par conséquent, celles des fonctions », , », ...., ur qui sont déterminées approximativement par l’équation

seront exprimées par la série

PURES ET APPLIQUÉES. 4o3

où l'indice n doit être remplacé successivement par les nombres i, a,..., n, et les formules ainsi obtenues seront applicables, tant que le point Z sera renfermé dans le cercle décrit du point A comme centre avec la plus petite des distances AA', AA", etc., pour rayon.

23. Admettons ensuite, comme au n° 20, que l’équation (a) ait t racines égales à h, , mais que l’équation (a') ait toutes ses racines inégales. En conservant les notations de ce numéro, et posant

a'-a"’, j3' = a"ru,

on verra, comme tout à l’heure, que les fonctions v qui répondent aux valeurs de j3' déterminées approximativement par l’équation

ont, pour a' = o , des valeurs finies inégales et peuvent être développées suivant les puissances entières de a”. I.es valeurs correspondantes de j3 seront donc exprimées par des séries de la forme

h\ a" + y, a" -t- an a"”*' + K*”*' +...

= h\ a’r‘ -H 7„a'"" -I- an a"'*1 -t- b„ a‘r *% -h...,

et, par conséquent, celles des fonctions u, , up, qui répondent

à l’équation

pourront se développer sous la forme

i rs' r' r'-M #•'-*- a

Si l’équation (a') avait elle-même des racines égales, on continuerait l’application de cette méthode, jusqu’à ce qu’on arrivât à une équation analogue aux équations (a) et (a') qui n’eût plus de racines égales. De cette manière, on trouvera pour toutes les fonctions u,, n,,..., des expressions en séries ordonnées suivant les puissances fractionnaires de z — a, et ces développements resteront exacts, tant que le

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point Z restera dans l’intérieur d'un cercle décrit du point A comme centre avec la plus petite des distances AA', AA", etc., pour rayon.

On voit que si l’on appelle fi le nombre des termes du système cir-, eulaire auquel la fonction u„ appartient relativement au point A, cette fonction pourra toujours être développée en série convergente suivant

les puissances entières de (z — a)“ dans les limites qu’on vient d’indiquer : en d’autres termes, le dénominateur des exposants fractionnaires de z— a, dans ce développement, sera égal au nombre des révolutions que le point Z doit accomplir sur un très-petit contour renfermant le point A, pour que la fonction reprenne sa valeur initiale. Ajoutons d’ailleurs que si l’on se borne à déterminer ce dénominateur par la méthode expliquée précédemment, on pourra ensuite se servir de la méthode des coefficients indéterminés pour calculer les coefficients des séries dont il s'agit.

'24. Appliquons maintenant cette théorie a quelques exemples, et d’abord considérons l’équation binôme

où les quantités a, a', fl", etc., sont supposées toutes inégales. Pour z = fl, les m valeurs de « qu’on en tire sont toutes milles, et comme

la dérivée se réduit ici, pour u = o, z = fl, à la quantité

— (o — fl')(a — o') etc. , qui n’est pas nulle, on tombe sur le cas du nu 18. On en conclut que les m valeurs de « forment autour du point A nu seul système circulaire, et qu’elles peuvent être exprimées par des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières de

{z — a) , tant que le point Z est renfermé dans un cercle qui a pour centre le point A et pour rayon la plus petite des distances AA', AA", etc.

'25. Prenons pour second exemple P équation

flm - (z - fl)'(z - fl')'(z — rt')r... =o, ou les quantités fl, n , u", etc. , sont toujours supposées inégales, et

PURES ET APPLIQUÉES. /|o5

où l’exposant l surpasse l’unité. I/es m valeurs de u qu’on en tire se réduisent à zéro pour z — a, et comme ia dérivée — s’annule aussi pour z = a, on se trouve dans le cas du nu IP. Faisons z = a - 1- a, u — fi; l'équation proposée devient

fi ” — a' {a — a' -+- <z)r {a — a" -h a)'"... = o.

où le polynôme A du n° 19 est simplement fi” — Bot', en posant, pour abréger,

les groupes G, , G, , etc. , se réduisent «lotie à un seul qui est fi'" — Ba'. Appelons y le plus grand commun diviseur de m et de l, et » le quotient l’équation (al du même numéro sera ici

jcf — B= o.

Comme elle n’a pas de racines égales, on en conclut que les m valeurs de u se partagent relativement au point A en y systèmes circulaires composés chacun de s termes. De plus, ces diverses valeurs de u

peuvent être développées suivant les puissances entières de (z — n) ’, tant que le point Z reste dans l’intérieur d’un cercle défini comme au numéro précédent.

2(î. Considérons, en troisième lieu, l’équation «’ — u -+• z = o ,

qui. pour z = -+■ a une racine double égale à -!=, et une ra- 1 r 3 y3 v3

cine simple égale à — ~ Soit A le point qui répond à i = + 3^,5’

prenons un point infiniment voisin C pour point de départ de Z, et désignons par u, , ult u,, trois fonctions satisfaisant à l’équation proposée, dont les deux premières aient des valeurs initiales très-peu

4o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

différentes de -4- la valeur initiale de la troisième différant tres-peu

de — ~ La fonction «, reprendra sa valeur initiale apres une révolution de Z sur le contour très-petit CLMC, //g. 9, qui entoure le point A, n° 7; pour savoir ce qui arrive aux deux autres, il suffit d’observer

que, la dérivée -■ étant égale à -f-i, on est ici dans le cas du

11" 18 , et qu’ainsi les fonctions u, et u, forment un système circulaire, c’est-à-dire que chacune d’elles prend la valeur initiale de l’autre apres une révolution du point Z.

Ces deux fonctions pourront donc, n° 21 , être développées en sé-

ries suivant les puissances entières de

développements, on fera dans léquation proposée, conformément à la méthode expliquée ci-dessus,

il viendra

V 3 /S’ -+- j3* -4- a = o, ou bien, en posant a = a’’, = a'i»,

y‘5 *»* -+- 1 -+- a' ié = o.

Soient v, et v, les valeurs de v tirées de cette équation qui, pour

a' — o, se réduisent respectivement aux quantités finies

— ; pour développer v, suivant les puissances entières de ot', il

suffira de faire dans l’équation précédente

v = -t- ^77=- + Aa‘+ B a" -4- Ca” -t-...,

puis d’égaler à zéro les coefficients des diverses puissances de a'. On

aura ainsi les valeurs des coefficients A , B, C, etc., et l’on trouvera

v/S+ea-<^a

la fonction 0, s’en déduira en changeant le signe de y — 1 • On conclut de là

JL + îEï/z

1 Yw«-

5'lzr< (.

et en changeant le signe de V — 1* on aura u,.

D’ailleurs l'équation proposée n’acquiert de racines multiples que

pour les valeurs z — H — , z = le module de la différence

de ces deux nombres, ou la distance des points correspondants A et A' étant la formule précédente sera applicable, tant que le

module de z — sera moindre que^-i=» ou bien tant que le point '/. restera dans l’intérieur d’un cercle décrit du point A comme centre avec un rayon égal à ~|-

Dans les mêmes limites, la fonction u, pourra se développer suivant les puissances entières de z — et l’on trouvera sans peine

“■ = -B-K’-ÎVs)+*(-ï7l)'

-itz- -v y - -°- ( 2 -

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/|f)8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

27. Pour dernier exemple, nous traiterons encore l’équation A (« — b)1 ■+■ B (u — b)f (z — a) -4- C (u — 6)* (a — a)*

+ G(« - by + H (u - A)*(z - a)» -h I(z -a),#= o,

où les coefficients A, B, C, D, E, F sont supposés différents de zéro, et qui a, pour z = a, sept racines égales à b.

Le point de départ C de Z étant supposé trcs-voisin du point A qui ré|x>nd à z = a, il y aura sept fonctions de z satisfaisant à l'équation proposée et ayant des valeurs initiales très-peu différentes de b. Il s'agit de savoir comment les valeurs de ces fonctions s'échangent les unes dans les autres après une révolution de Z sur un contour fermé tres-petit CLMC ,Jîg- 9, tracé autour du point A.

La dérivée s’annulant pour z=a, u=b, faisons, comme

au n” 19 ,

z = rt + K , u — b + l S; l’équation proposée deviendra

A0T 4- B/5*ct-+ Gj3* a‘-t- D^*a' + EjS*’-)- Fa*

-4- G/3* + Hj3‘a‘+ Ia,0= o.