I-e polynôme A est ici

A/3’4-B^a-t-Cj3*a‘ + DjS*a»-t- E^a’ + Fa*:

construisons les points Mu, M,,.., M, correspondants aux différents termes de A et qui ont pour coordonnées

•*o = 7> r»-o\ jt, = 5, jr, = i; *-,= 4, jr,±=4; •r>=a» y» =5; x,= i, jr, = 7; — o, j, — o.

Cela fait, nous verrons aisément que la droite M0O étant supposée tourner autour du point M„ de manière à couper la partie positive de 1 axe des y, rencontrera d abord le point M, j que cette même droite, tournant ensuite autour de M„ rencontrera le point M, avant tous les autres; et, enfin, que cette droite, en tournant autour de M,, arrivera à contenir à la fois les points M, et M*. Les groupes G seront

donc au nombre de trois, savoir :

GS = D^«J+ Ej$ctT -t- F a*.

Pour le premier, on a

f = a, 9 = r , et l’équation (a) du n° 19 est

Ax -t- B =. o :

à ce groupe répondent, par conséquent, deux (onctions de u et de z qui forment un système circulaire autour du point A , et qui , dans certaines limites, se développent en séries convergentes suivant les

puissances entières de (z — «)* .

Pour le deuxième groupe, on a

et l’équation (a) est

jr= 3, 9 = 1, Kl -+- D = o :

a ce groupe répond donc un système circulaire composé de trois fonctions qui se développent suivant les puissances entières de

Pour le troisième, on a

s~ ii 9 = a>

et l’équation (a) est

fix' -+- Ex -4- F = o.

Admettons d’abord que cette équation ait ses racines inégales; alors à ce groupe répondront deux systèmes circulaires d’un seul terme chacun, c’est-à-dire deux fonctions de z dont chacune reprend sa propre valeur initiale après une révolution de Z, et qui peuvent se développer suivant les puissances entières de z — a. Admettons ensuite que l’équation (a) ait ses racines égales, de sorte qu’on ait à la fois

D As -t- EA F = o, aDA -4- E = o.

Tnmç XV. — Novembre i85o. 5-2

4io JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

C'est ici le cas du n“ 20; comme on a

on fera

a = a', |3 = Aa” 4- JS' :

en substituant ces valeurs dans l’équation entre a et jS mise sous la forme

a* (D/3’ 4- EjSa» -+- Fa*) -4- A|S’ -+- Bj3‘a 4- C0*a’

-t- Gj3*4- H|3*a‘4- la,0= o, il viendra, en laissant la lettre a au lieu de a',

n^a* 4- A(A’aM4-...) + B (A5 a" -4-...)+ C(A*a,J +...)