G(A,a'*+...)-4- H(A‘a'*-t-...) 4- la,#=o

Dans chaque parenthèse, les termes non écrits sont d'un ordre plus élevé que le terme conservé, attendu que fj est d’un ordre supérieur à celui de aJ. On voit que les groupes G' se réduiront à un seul, qui sera

D|ÿ*a* -+- la10,

en supposant que I ne soit pas nul. On aura alors r'= 5, i' = a, ?'= t ,

et l’équation (a') sera

Dx’ -t-I=o.

(’.online elle n’a pas de racines égales, puisqu'elle est du premier degré, et qu’on a

ss' = a ,

on voit que les deux valeurs de u qui correspondent au groupe G, forment un seul système circulaire, et que chacune d’elles est développable en série suivant les puissances entières de ' z — a)*. Mais si le coefficient 1 était nul , le groupe G' serait

DjS',a,4- BAsa'*:

on aurait alors

et l'équation (a') serait

Dx'1 -t- BA* = o.

Comme elle a ses racines inégales et que le produit ss1 se réduit a l’unité, on voit que, dans ce cas, chacune des valeurs de u qui répondent au groupe G, reprend sa propre valeur initiale après line révolution de Z, et que ces deux valeurs peuvent être développées en séries suivant les puissances entières de z — a.

28. Nous avons cherché, dans ce qui précède, comment s’échangent entre elles les valeurs des fonctions de up, lorsque le

point Z décrit autour du point A un contour infiniment petit; il y a encore un autre cas qu’il est à propos d’examiner spécialement.

Prenons pour point de départ de Z un point C correspondant à une valeur quelconque c de z , avec la condition, toutefois, que l’équation

n’ait pas de racines égales; soient toujours A, A', A", etc., les points correspondants aux valeurs a , o', a ", etc., de s qui font acquérir des racines multiples k l’équation

et supposons que l’cquation

ait p racines égales a b. Joignons le point C au point A par une ligne CDA, y/g- ta, tracée arbitrairememl , mais de manière à ne passer par aucun des points A, A', A*, etc. ; puis désignons par u , , up

tes p fonctions de z qui , satisfaisant à l’équation

et ayant au point C les valeurs initiales b„ A,,..., bp, acquièrent eu A la valeur commune A, lorsque Z y arrive par le chemin CDA. Prenons sur cette ligne un point D infiniment voisin de A, et imaginons un contour fermé infiniment petit DNPD qui entoure le point A , en ne faisant autour de ce point qu’une circonvolution. Cela posé, nous donnerons le nom de contour élémentaire au contour qui se compose

âa..

4ia JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

«le la ligne CD, du contour infiniment petit DNP, et, enfin, de la ligne DC, de sorte que le point Z, en le parcourant , décrit deux fois la ligne CD , mais dans des sens contraires.

Voyons maintenant ce que deviennent les fonctions u, , K,,..., up après une révolution de Z sur un pareil contour : soient d’abord fi, , fi,,..., fip les valeurs qu’elles acquiérent, lorsque Z arrive pour la premiere fois en D. Le point mobile parcourt ensuite le contour infiniment petit DNPD ; or on a prouvé que les fonctions u, , up pou-

vaient se partager, relativement au point A, en un certain nombre de systèmes circulaires: soit u, , u,,..., , u„ un de ces systèmes, de

façon qu’après une révolution de Z sur DNPD, les fonctions qui le composent aient acquis respectivement les valeurs fi, , fi,,..., fi„, fi,. Lorsqu’ensuite le point Z, achevant de décrire le contour élémentaire, ira de D en C, la fonction u, , qui avait en D la valeur fi. , prendra en C la valeur b, ; car autrement, si Z revenait en arrière au point D, u, ne reprendrait pas la valeur fi, : de même les fonctions , u„ acquerront en C les valeurs b,,..., b„ , b,. Par conséquent, les fonctions u,, u,,..., up jouiront, par rapport au contour élémentaire CDNPDC, des mêmes propriétés qui ont été démontrées pour le contour infiniment petit DNPD. Les systèmes circulaires se ront dans les deux cas en même nombre et composés des mêmes termes rangés dans le même ordre: on les «léterminera toujours en cherchant , par la méthode expliquée ci-dessus, les valeurs approchées des fonctions u, , u ,, etc. , pour une valeur de * infiniment peu ilifïèrente de a.

Quant aux fonctions up+, , u^, , etc., dont les valeurs au point A sont des racines simples de l’équation

il est clair, nu 7, «pi apres une révolution de Z sur le contour éléineu taire CDNPDC, chacune d’elles reprend simplement sa valeur initiale.

*29. Supposons maintenant que le point Z, partant du point C, décrive autour du point A une ligne fermée de forme quelconque, mais qui puisse se réduire au contour él«'*roentaire CDNPDC sans franchir

aucun des points A, A'; A", etc. : on conclura du n" t» que les valeurs des fonctions u,,u7, etc., «’échangeront sur cette ligne absolument comme sur le contour élémentaire.

30. Joignons le (joint C aux différents points A, A', A", etc., par îles lignes CDA, CD’ A', CD" A", etc. ,Jîg. ta, tracées arbitrairement , sauf la condition que la ligne menée à chacun de ces points ne passe par aucun îles autres : soient D, D', D", etc., des points situés sur ces lignes à des distances infiniment petites des points A, A', A", etc.; traçons autour de ces derniers les contours fermés infiniment petits DNPD, D'N'P'D', D'N'P'D", etc., et imaginons les contours élémentaires CDNPDC, CD'N'P'D’C, CD N'P'D'C, etc., que nous désignerons, pour abréger, par les notations (A), (A'), (A"), etc. Cela posé, étant donné un contour fermé quelconque passant par le point C, on pourra toujours, sans lui faire •franchir aucun des points A, A', A"; etc., et sans déplacer le point C, ie déformer de façon à le réduire à une suite de contours élémentaires. Cette assertion n’a pas besoin d’être démontrée, et il suffit d’un peu d’attention pour en apercevoir l’exactitude.

Par exemple, le contour CCMC de la Jig. i3 se réduira au contour élémentaire CDNPDC ou (A). Le contour CLMC de la Jig. 14 se réduira au contour (A) parcouru deux fois de suite. Le contour CLMC de la Jig. i5 se réduira aux trois contours (A), (A'), (A"), parcourus successivement. Enfin le contour CLMC de la fig. ifise réduira à la suite des contours élémentaires (A'), (A*), (A'), (A), (A'). Sous ce point de vue, un contour fermé quelconque passant par le point C sera caractérisé par la série des contours élémentaires auxquels on peut le réduire.

Toutefois il importe d’indiquer dans quel sens chaque contour élémentaire est parcouru : pour cela nous représenterons le contour (A) par (-1- A) ou par(— A), suivaut que le point Z sera supposé le parcourir dans le sens direct ou dans le sens inverse, n° 18, et nous ne consenerons la notation (A) que pour le cas où il sera inutile d’indiquer dans quel sens ce contour est décrit. Ainsi le contour CLMC de la Jig. i3 se réduira à (-t- A) ou à (— A), suivant que le point Z le parcourra dans le sens CLMC ou dans le sens CMLC : de même , le

contour CLMC de la Jig. iG se réduira à la suite (-t- A' i , (-t- A"),

( — A'), (— A), (4- A'), s’il est parcouru dans le sens CLMC, et à la suite (—A' , (-f- A), (+ A'), (— A"), (—A'), s’il est parcouru en sens contraire. [On peut observer que pour déduire cette seconde suite de la première, il suffit de renverser l’ordre des termes et de changer leurs signes: cette remarque est générale.)

fies notations adoptées, un contour fermé passant par le point C et parcouru dans un sens déterminé, pourra , quelle que soit sa forme [*], être représenté par la suite des contours élémentaires auxquels on le réduit en le déformant : cette suite, dont chaque terme doit être affecté d’un signe convenable, ainsi qu’on vient de l’expliquer, est ce que nous appellerons la caractéristique 1 ht contour. Ainsi les contours CLMC des jig. 1 f , 14, 1 5 , 1 6 étant supposés parcourus dans le sens CLMC , auront pour caractéristiques respectives

et, s’ils sont parcourus dans le sens contraire, leurs caractéristiques seront

Dans le cas ou un contour fermé pourra se réduire au sctd point C sans franchir aucun des points A, A', A”, etc., nous lui donnerons (o) pour caractéristique : il est clair qu’on est libre d’introduire ou de supprimer dans la caractéristique d’un contour des termes (o) en tel nombre et à telles places qu’on voudra.

On voit facilement que les points A, A', A", etc. , restant les mêmes ainsi que le point C et les lignes CDA , CITA', CD" A', etc., un même contour, parcouru dans un même sens, n’est susceptible que dune seule caractéristique (sauf les termes (o) qu’on peut toujours supprimer). Deux contours qui ont la même caractéristique peuvent toujours se réduire l’un <1 l’autre sans franchir aucun des points A, A',

[*] On exclut toujours le cas 011 ce contour passerait pur quelqu’un des points A , A', A", etc.

PURES Err APPLIQUÉES. 4 « 5

A", etc.; et, au contraire, deux contours qui, dans quelque sens qu'on les suppose parcourus, ont des caractéristiques différentes, ne peuvent pas se réduire l’un à l’autre. Observons encore que si les ligues CRA, CD' A', CD" A", etc., viennent à changer de forme, la caractéristique d’un contour donné restera la même, tant que ces lignes ne franchiront aucun des points A, A', A', etc.

31. De ce qu’on vient de dire et de la proposition énoncée au n° 6. on conclut que si deux contours fermés passant par le point C ont la même caractéristique, la fonction u, de z, déterminée par l’équation

et par une valeur initiale b , choisie parmi les racines de l’équation

acquerra une seule et meme valeur, lorsque le point Z, parti de la position C, y reviendra après avoir parcouru l’un ou l’autre de ces deux contours, ou bien encore la suite des contours élémentaires représentés par leur caractéristique commune.

Si donc on appelle u,, , um les ni fonctions de z déterminées

par l’équation

et ayant respectivement pour valeurs initiales les in racines b,, b.,,..., bm de l’équation

il sera facile de savoir quelle valeur prend chacune de ces fonctions, lorsque le point Z revient en U après avoir parcouru un contour fermé dont la caractéristique est donnée.

Eu effet, substituons au contour proposé la série des contours élémentaires représentés par les différents termes de la caractéristique : après que le point Z aura parcouru le premier de ces contours, la fonction u„ aura acquis une valeur bp qu’on saura déterminer, n” *28 ; il suffira pour cela de savoir quelle est la fonction qui suit ou qui précède u„ dans le système circulaire dont elle fait partie relativement à celui des points A, A', etc., qui est renfermé dans le contour élé-

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mentaire. Soit maintenant bq la valeur que prend la fonction up apres une révolution de Z sur le deuxième contour élémentaire; il est clair que u„ acquerra cette même valeur bv, lorsque Z aura décrit les deux premiers. Pareillement, sachant quelle est la valeur br que prend uq après une révolution de Z sur le troisième contour élémentaire, on en conclura que u„ acquiert cette même valeur br après que Z a décrit les trois premiers contours. En continuant ainsi , on trouvera la valeur que prend la fonction u„ , quand le point Z a parcouru tous les contours élémentaires dont se compose la caractéristique, ou, ce qui est la même chose, quand ce point a parcouru le contour proposé.