Tome XV- — NovftMMt; iîTjo

u9J us formeront un système

circulaire relativement au point A , et que les mêmes fonctions rangées dans l’ordre u,, u, , en formeront un relativement au point A'.

Si, maintenant, on veut savoir ce que devient u, , après que Z a décrit un contour fermé quelconque, par exemple celui qui a pour caractéristique

il suffira d’observer qu’après que Z a décrit successivement chacun des contours élémentaires indiqués par la caractéristique, u, , qui avait d’abord la valeur g, a pris les valeurs

Il y— lit

ainsi la fonction u, se trouve avoir repris sa valeur primitive.

54. Après avoir montré ce que devient la fonction u, , lorsque le point Z revient à sa position initiale après avoir décrit un contour fermé quelconque, il nous faut examiner maintenant quelles valeurs acquiert cette fonction, suivant que le point Z va de son point de

départC à un autre point déterminé K., Jig. 17, par un chemin ou

par un autre. Nous excluons toujours les chemins qui passeraient par quelqu’un des points A, A', A", etc.

Les valeurs initiales des fonctions u, , «a,..., étant -toujours

désignées par b,, b„ , appelons h,, h hm les valeurs

qu’elles acquièrent, lorsque Z va de C en K par un chemin déterminé CM K ; il s’agit de trouver quelles valeurs acquièrent ces mêmes fonctions. lorsque Z va de C, en K par un autre chemin quelconque CLK.

Pôur cela, observons que les deux chemins CLK, CMK, réunis, composent un contour fermé CLMC, dont la caractéristique, que nous représenterons par (T), sera connue dès que ces deux chemins seront donnés. Or la fonction u, acquerra la même valeur au point K , soit que le point Z y aille par le chemin CLK. soit qu’il y aille en décrivant d’abord le contour fermé CLMC, puis la ligne CMK; car le second chemin se réduit au premier sans franchir aucun des points A , V, A", etc. Mais ou saura, par ce qui précède, quelle est la fonction u, dont prend la valeur initiale bj après une révolution de Z

sur le contour fermé CLMC; ou en conclura donc que la fonction 11, acquiert au point K la valeur Ay, quand le point Z y arrive par le chemin CLMC -t- CMK, ou, ce qui est la même chose, |>ar le chemin CLK : c’est la réponse à la question que nous voulions résoudre.

A ce point de vue, le chemin CLK sera sultisamment désigné par la notation (T) -t- CMK, dont nous nous servirons par la suite, et que nous appellerons la caractéristique de ce chemin. Quand , par le procédé du n° 16, on aura déterminé les valeurs A,, A,,.,.f hm que les fonctions u„ acquièrent au point K, lorsque Z y va par le

chemin CMK, on voit qu’il ne sera pas nécessaire de recommencer ce calcul pour un autre chemin quelconque (P) -4- CMK. Il suffira d’avoir effectué le partage des fonctions u, , um , en systèmes circu-

laires relativement à chacun des points A, A', A", etc., et alors on pourra assigner immédiatement quelle est celie des quantités A, , A„... , A,„. à laquelle la fonction u, devient égale, lorsque Z a parcouru le chetnin (T) -t- CMK.

Par exemple, reprenons l’équation

les fonctions u, , u, étant définies comme au n° ,Y2 . appelons A, , A,, A, les valeurs qu’elles acquièrent , lorsque le point Z va de C en K par un chemin déterminé CMK. Ces quantités une fois calculées, si Pou veut savoir quelles valeurs prennent nos trois fonctions, lorsque Z va de C en K par le chemin (i A) (:£ A' 4- CMK, il suffit d’oli server qu’après une révolution de Z sur le contour fermé ( ± A) (i A'), u,, u,, u, ont acquis respectivement les valeurs initiales de «„ u,, u, ; on en conclut que les valeurs demandées sont At, A,, A,.

35. On peut rendre plus sensible la marche de la fonction u, en imaginant un point U dont l’abscisse et l’ordonnée soient la partie réelle et le coefficient de \ — 1 dans la valeur de u. Eu meme temps que Z décrit une ligne continue, U en décrit une aussi qui est parfaitement déterminée, si Z ne passe par aucun îles points A, A', A”, etc.

Concevons que Z aille de C en K par plusieurs chemins différents : la fonction u pourra acquérir des valeurs différentes, et parmi les valeurs A,, A,,..., hm qu’elle peut avoir pour z = k , on a appris

4ao JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

à distinguer celle qu’elle prend , suivant que Z a suivi tel ou tel chemin. Par conséquent, le point U pourra arriver à différentes positions dans ces différents cas, et, parmi les points H,, H,,..., H„, qui correspondent aux quantités h,, h,,..., hm, on saura distinguer celui avec lequel U vient coïncider, lorsqu’on connaîtra le chemin suivi par Z.

Par exemple, si Z décrit un contour fermé de façon à revenir à son point de départ C, il pourra arriver que la fonction u reprenne on ne reprenne pas sa valeur initiale : dans le premier cas, le point U aura décrit lui-méme un contour fermé; mais, dans le second, il ne sera pas revenu à sa position primitive.

5ti Nous avons toujours supposé jusqu’ici que Z ne passait par aucun des points pour lesquels la fonction u devient une racine multiple de l’équation

Admettons maintenant que Z vienne à passer par un point A , pour lequel les p fonctions u, , up acquiérent une même valeur h.

Avant que Z arrivât en A , ces fonctions avaient pour valeurs p quantités inégales très-peu différentes tie b; lorsqu’ensuite Z a dépassé le point A, l’équation

fournit encore p valeurs de u inégales et tres-voisines de b; mais il n’y a pas de raison d’attribuer chacune de ces valeurs a l’une plutôt qu’à l’autre des fonctions up. Ainsi, au delà du point A, on

trouve bien encore p fonctions distinctes tie s comme avant; mais la question de savoir laquelle de ces fonctions doit être regardée connue la continuation d’une fonction particulière u,, reste tout à fait indéterminée.

L'exemple suivant rendra plus sensible ce genre d'indétermination. Faisons décrire à Z. à partir du point C et dans le sens direct, un cercle CL A MC, //g. i H , passant parle point A, pour lequel les fonction? u, et u, deviennent égales entre elles , et supposons que ces fonctions ne puissent devenir égales pour aucun autre point situé sur la circonférence ou dans son intérieur. Soit b leur valeur commune

PURES ET APPLIQUÉES, nu point A, de sorte que pour z = a, u — b , on ait

y («.*) = « , >r~ = oi

mais admettons que, pour les mêmes valeurs de £ et de u, les dérivées ’ * se réduisent à des quantités A et B différentes de

du’ dz

zéro. Si l’on fait

z~ a + pe

u, = b + 1 3,, u, — b- 1- JS,,

les quantités jS, et t3, s’annuleront en même temps que p, et se confondront sensiblement, pour de petites valeurs de p, avec les deux racines de l’équation du second degré

ApJ -t- Hperv( ' = o, ou

P =hpe'pr\

en faisant

On en conclut

I T *♦" <I,JT f

u, = b -+- [hpYe3 , u, = b - (- \hp)‘e 3 et si l’on pose

(hp)T = ye°'/~r‘,

y désignant un nombre positif et $ un angle réel , puis

» T , T 2 lt

if h — e, ,

on aura approximativement, dans les environs du point A,

u, = b -t- ye"' ', u, = h- t- yi

Prenons maintenant sur la circonférence CLMC deux points I. et M très-voisins de A , et situés de part et d’antre de ce point. Soit B le point correspondant à la valeur commune b que prennent les deux fonctions u,, u,, quand le point Z arrive en A; lorsque Z est en L, ces memes

4aa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

fonctions ont des valeurs inégales correspondantes à des points N et P voisins de B, et tels, que les directions UN, BP soient sensiblement dans le prolongement l'une de l’autre, attendu qu’on a

Lorsqu’cnauite le point Z est en M, les points Q et R, correspondant» aux valeurs ties deux fonctions, sont encore très-voisins du point B, et tels aussi, que les directions BQ, BR soient sensiblement dans le prolongement l’une de l’autre. Mais comme, en passant du point I, au point M, on fait varier t de r; s , et qu’ainsi chacun des angles v,, v3

varie de les directions BQ, BR seront sensiblement perpendi-

culaires aux directions BN, BP.

Concevons à présent que Z aille tie L en M en passant par le point A. les points U,, II,, correspondants aux fonctions u„ et situés d’abord en N etP.se rapprocheront l’un de l’autre, se confondront en B, lorsque Z arrivera en A, puis se sépareront pour venir en Q et R; mais si l’on attribue le point N à la fonction u, , et le |>oint P à la fonction u, , il n’y aura pas de raison d’attribuer chacun ties points Q et R à une de ces fonctions plutôt qu’à l’autre.

En effet, déformons infiniment peu le chemin par lequel Z va de L en M, de façon qu’il ne passe plus par le point A; selon que le point A sera en dehors ou en dedans du contour fermé CLMC, il arrivera ou que le point U, ira de N en Q, et le point U, de P en R, ou que le point U, ira de N en R et le point U, de P en Q.

Pour le voir, supposons d’abord, /tg. 1 9, le point A extérieur au contour CLMC, mais très- voisin de ce contour : prenons sur celui-ci les deux points L et M très-voisins de A, île façon toutefois que les directions AL, AM fassent un angle très-voisin tie 180 degrés. Alors, quand le point Z ira de L en M, t diminuera sensiblement de jt, et,

par suite, e, et c, diminueront sensiblement de : le point U, ira donc

de N en Q par la ligne NKQ, et le point U, de P en R par la ligne PCR.

Si, au contraire, le point A est intérieur, Jig. 10, les points L el M étant pris comme tout à l’heure, l’angle r augmentera sensiblement

de TT, lorsque Z ira de L en M; par suite, v, et e, augmenteront de - ;

U, ira donc de N en R par le chemin NFR, tandis que U, ira de P en Q par le chemin PCQ.

Les Jig. 18, 19 et ao montrent comment se modifient les lignes décrites par les points U, et U,, lorsque le contour CLMC, en se déformant, vient i» franchir le point A. Tant qu’il ne le renferme pas, chacun des points U,, U, décrit une ligne fermée, Jig. 19, l’un la ligne SNFQS, l'autre la ligne TGPRT; ces deux lignes passent très-près du point B et présentent dans cette région comme deux angles droits opposés.

Lorsque le contour CLMC vient à passerait point A ,Jig. 18, ces deux lignes se réunissent en une seule pour laquelle le point B est un point multiple; les branches qui y aboutissent s’y coupent à angles droits. Les points U, et U, arrivent en B en décrivant les lignes NB, PB; mais ensuite, comme on l’a déjà dit, ou peut regarder l’un des deux à volonté comme décrivant la ligne BQ et l’autre comme traçant la ligne BR.

Enfin, lorsque le contour CLMC vient à renfermer le point A, fig. no, les lignes décrites par les points U, et Ua deviennent les deux parties d’un même contour fermé. Ce contour présente un étranglement aux environs du point B, et les parties qui avoisinent cette région forment encore comme deux angles droits opposés. Si S et T sont les positions initiales de U, et de U,, pendant que Z décrira le contour CLMC, le point U, tracera l’arc SNFRT, et le point U, l’arc TPGQS; ce u'est qu’apres deux révolutions de Z que les points l , et U, reprendraient leurs positions initiales $ etT[*j.

On verra de meme ce qui arrive, lorsque le contour CLMC franchit un point A pour lequel trois fonctions u„ «, acquièrent une

valeur commune n. in 1 on suppose que les dérivées - — ’ / ne s'annulent pour z = a, u — b , les valeurs approchées de ces fonc-

| • ] Si U* contour CI.MC avait un point saillant, que ce point coïncidât avec le point A, et que les deux portions de contour aboutissant en A lissent un angle égal à 0t la ligne décrite parles points U, , U, offrirait encore en B un point multiple, niait l'angle des branches qui se coupent en H, au lieu d’ctie droit comme dans la Jig. 18,

... * serait égal a -*

Homs pour des valeurs de z voisines de a seront

u, = h + {hp) Ha = /> -+- (flp)

i T-i-as » —

h,— b + (hp)* e 3

On en conclura, en raisonnant comme on vient de le Taire, que si le point A est hors du contour CLMC, mais très-près, chacun des points U,, U,, U, décrira une courbe fermée, Jig. ai, passant trèsprés du point R. Si le contour vient à passer par le point A, ces trois courbes se réunissent en une seule, Jig. aa, ayant en B un point multiple où passent trois branches qui s’y coupent sous des angles de 60 degrés. Enfin, si le point A devient intérieur au contour, cette ligne unique ne passe plus au point B; mais elle a au* environs de ce point la forme qu’indique la Jig. a3 : pendant une révolution de Z sur le contour ('.EMC, chacun des points U,, U„ U, décrit une portion de la ligne dont il s’agit, de façon que ces trois portions composent la ligne entière; ce n'est qu’apres trois révolutions de Z que ces |Kiints reviennent à leurs po-itions initiales.

57. Nous avons supposé, à partir du n° 18, que le coefficient de la |>lus haute puissance de u dans le polynôme entier f («, z) était indépendant de z : mais il est aisé d’étendre la théorie précédente au cas ou ce coefficient est une fonction entière quelconque de z. Considérons. en effet, l’équation irréductible

N vm -+- Pe"*-1 -t- Qe"-* -f- ... -f- S ii + T = o.

où N, P, Q,..., T désignent des polynômes entiers en z, et proposons-nous, comme nous l’avons fait pour la fonction «, de distinguer les diverses valeurs que. la fonction e peut acquérir, suivant que le point Z va par tel ou tel chemin de sa position initiale C à une autre position K.

On ramènera sur-le-champ ce cas a celui que nous avons traité, en posant

PURES ET APPLIQUÉES. 4a5

en effet, l'équation proposée deviendra

um-b Pa"*-' -h N Qm“-* + N"-* Su -+- N“-' T — o,

où le coefficient de u"‘ est l’unité. Le polynôme N n'ayant qu’une seule valeur pour chaque valeur de z, aux diverses valeurs dont la fonction « est susceptible correspondront autant de valeurs de v qui s’en déduiront par la formule

^ = Pt-

Tou t se réduira donc, comme ci-dessus, a déterminer les caractéristiques des divers chemins par lesquels on peut aller tie U en K, et, pour les connaître, il n’y aura qu'à construire les points A, A', A", etc., correspondants aux valeurs de s qui font acquérir ties racines multiples à l’équation

um- f- Pu"’-' Nm-'T=o.

Observons qu’il ne serait pas exact de déterminer ces points en cherchant les valeurs de z pour lesquelles l’équation en v acquiert des racines égales : car, bien qu’en général ces valeurs de z soient les mêmes, il peut en être autrement de celles qui annulent N; pour ces valeurs, l’équation en « a m — i racines égales à zéro, tandis que l’équation en v a ordinairement une racine infinie et m — ■ racines finies et inégales. Mais on trouvera toujours tous les points A, A', A", etc., en joignant aux valeurs de z qui font acquérir à l’équation en v des racines égales celles qui lui donnent des racines infinies.