On a vu que les diverses fonctions ti„ qui satisfont à

l’équation

um -+- Pm”’-1 -t- N Qum~J -h... — o,

se partagent, relativement au point A, en un certain nombre de systèmes circulaires; les fonctions correspondantes

formeront évidemment des systèmes circulaires correspondants et en même nombre. Appelons v la puissance de z — a par laquelle le Tome XV. — Nomrn iS5o J4

4a6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

polynôme N est divisible, l’exposant entier v pouvant être zéro, et

faisons

N = (a-«)*iV;

nous aurons, en désignant par t<„ une des fonctions e, , v, »>„,

d’ou

Or, tant que le point Z reste dans l'intérieur d'un cercle décrit du point A comme centre avec la plus petite des distances AA', AA", etc.,

pour rayon, on peut développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de a — a; on a vu d’ailleurs, n° que j x étant le nombre des termes du système circulaire dont u, fait partie, cette fonction «„■ peut, dans les mêmes limites, être développée suivant les puissances entières et positives de

(î — a)'1. En multipliant ces deux séries, on aura le développement

de ^ • u„ suivant les puissances entières et positives de (2 — cCf ■ nous pouvons donc écrire

jfU„ = (2 — a) vn = A ■+■ B(z — a)' + C(a — a)" -i- ....

A, B, C, etc., désignant des coefficients indépendants de a, et, par conséquent ,

vn = A (a — a) -h B (a — u)l‘ -t- C (a — a) -+- ....

Ainsi la fonction se développe comine u„ , suivant les puissances

entières de (a — a)*; mais, tandis que le développement de t/„ ne

contient que des puissances positives de (a — a)”, celui de v„ peut commencer par un nombre limité de puissances négatives.