Appliquons ce qui vient d’être dit à l’équation

où les quantités a, a ', a", etc., sont supposées toutes inégales; si l’on pose

il viendra

ir - (z - a)*-* (s - «')"-• (z - a")""'... = o.

Les points A, A', A", etc-, pour lesquels cette équation acquiert des racines multiples, sont précisément ceux qui répondent aux valeurs (i , d\ a“, etc., de z. .

Appelons u, , um les ni fonctions qui satisfont à l’équation

en a, et qui ont respectivement pour valeurs initiales

if v/rr

g, gc " , ge m ge

g désignant une des valeurs du radical

\(c - aT-' {c - (c - a"

On déiiuit facilement des principes établis plus haut, que chacune de ces fonctions acquiert la valeur initiale de la suivante après une révolution de Z sur un quelconque des contours élémentaires [-h A), { -i- A' ) , etc. Si donc on pose

il en sera de même des fonctions t>(, p,, etc.

D’après cela, si l’on appelle h,, h,...., hm les valeurs que les fonctions p,. p,,..., p,„ acquièrent au point K., lorsque Z y arrive par le chemin CM K , et si l’on demande les valeurs qu’obtiennent ces mêmes fonctions, lorsque Z arrive en K par le chemin (+ A) (-4- A')-t-C\IR, on trouvera que e, prend la valeur h, , pa la valeur ht, et ainsi de suite jusqu'à pot, et pm, qui prenne les valeurs h, et 4,. De même, si Z arrivait en K par le chemin { — A)-t-CMK., e(, e, ,..., em acquerraient respectivement les valeurs hm, h, ,...,

Ajoutons que les fonctions v, , v,,..., t>„ seront développables en

séries convergentes suivant les puissances entières de (z - a)1*, tant que le point Z restera dans l’intérieur d’un cercle décrit du point A comme centre avec la plus petite des distances AA', AA*, etc., pour rayon , et que ces développements renfermeront la puissance négative ■

/ ni

40. Nous n’avons parlé, dans tout ce qui précède, que des équations algébriques; mais les propositions que nous avons établies s’appliquent à l’équation transcendante

pourvu que le premier membre J («, z) et ses dérivées partielles des divers ordres, prises par rapport a u et à z, soient des fonctions continues de u et de z, et n’aient pour chaque système de valeurs de ces variables qu’une seule valeur finie et déterminée. En effet, M. Uauchv a établi ( Nouveaux /Exercices de Mathématiques, tome II, page iog que les valeurs de u, tirées d’une telle équation, varient d’une maniéré continue lorsque z varie d’une manière continue. Or c’est là, avec les conditions qu’on vient d’énoncer, la seule chose que sup|K>se notre théorie.