On peut encore la généraliser en supposant, non plus

z — x + y yf— i ,

mais

nous désignons ici par ç (x,^) et deux fonctions continues

qui n’ont pour chaque système de valeurs de x et de r, ou , si l’on veut , pour chaque point du plan xj-, qu’une valeur réelle finie et déterminée. Pour chaque point du plan, l’équation

fournira encore des valeurs de u généralement inégales, et l’on pourra se demander ce que devient chacune d’elles en variant d’une manière

continue, tandis que le point qui a pour coordonnées oc et y passe d’une position initiale C à une autre position K..

Dans ce but, on déterminera d’abord les points correspondants aux valeurs de z qui font acquérir des racines infinies ou multiples à l'équation

Si J - 1- g \ — i désigne une pareille valeur, les coordonnées des points correspondants seront fournies par le système des deux équations

Si maintenant on suppose que le point (x, y) aille de C en K par un chemin déterminé, la valeur que la fonction « acquiert au point K restera la même, lorsqu’on viendra à déformer le chemin parcouru, tant que ce chemin ne franchira aucun point pour lequel la fonction u devienne infinie ou égale à une autre racine de l’équation proposée. I-a démonstration est exactement la même que celle qui a été donnée plus haut pour le cas de z = x -+- y y — t ■

Ensuite, si en un point A un certain nombre des fonctions de ; déterminées par l’équation

deviennent égales entre elles, on prouvera encore, comme précédemment, que ces fonctions se partagent en un certain nombre de systèmes circulaires, c’est-à-dire que les fonctions qui composent un de ces systèmes étant disposées convenablement sur un cercle, chacune d’elles acquiert la valeur initiale de la suivante après une révolution du point (x,y) sur un contour infiniment petit tracé autour du point A.

I>es conséquences tirées ci-dessus de ces principes subsisteront donc dans l’hypothèse plus générale dont nous parlons.