TROISIÈME PARTIE

-12. Appliquons maintenant la théorie qui précède à la recherche îles valeurs multiples des intégrales définies. Considérons l’équatiou algébrique

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dont le premier membre est une fonction entière quelconque de u et de a, et, comme au n” 5, appelons «, une fonction de z qui satisfasse à cette équation et se réduise à b , , lorsque le point Z, correspondant à z = x + y ^ — i , part de sa position initiale C. Comme Ta remarqué

M. Cauchy, la notation j" u,dz n’olTre un sens déterminé qu’autant

qu’on donne, outre les limites c et k , le chemin CMK par lequel le point mobile Z est supposé aller de C en K. A la vérité, tant que le chemin CMK, en se déformant, ne franchit aucun des points A, A', A", etc., pour lesquels l’équation

a des racines égales ou infinies, l’intégrale j' «, dz conserve la meme

valeur, n° H; mais s’il vient à franchir quelques-uns de ces points, l’intégrale pourra changer et acquérir un nombre limité ou illimité de valeurs différentes.

Montrons d’abord comment, à l’aide des principes établis dans la première partie, on pourra calculer avec telle approximation qu’on

voudra la valeur de l’intégrale j' u , d: relative à un chemin donné

CMK; nous supposons, bien entendu, que ce chemin ne passe par aucun des points A , A', A", etc., sans quoi l’intégrale pourrait être indéterminée. Répétons la construction expliquée an n° 11* et par laquelle la ligne CMK est partagée en un certain nombre tie parties CMC', C'M'C", C"M*C*, et 7 : le long de la ligne CMC', on a, n° 15,

u, = b, ■+■ F,(b,,c).(z — c) -h Ft(b,, c).(z — c)’

où le second membre est une série convergente; si donc on appelle V

l’intégrale^* u,dz prise le long du chemin CMC', V s’exprimera par

une série convergente qu’on obtiendra en intégrant chaque terme de la précédente entre les limites 1 = c, z — c’ : on trouvera ainsi

cc"

En appelant V', V*, etc., les valeurs des intégrales / u,dz.

J' u, riz, etc., prises respectivement le long des chemins C'M'C', etc., on aura de même V' = nt (C - c1) + F, {b\ , c') ■

V” = b\ (c" - c") + F, {b\ , c') • ’ -t- Y, {b\ , cT) ■ (f* Z"1’

etc.

Ces quantités V, V', V', etc., seront en nombre limité, et en les ajoutant . on aura la valeur demandée de l’intégrale J utdz: on pourra

souvent faciliter ce calcul en profitant de la faculté qu’on a de déformer le chemin CMK , sans toutefois lui faire franchir aucun des points A, A', A", etc.

La même méthode peut servir à calculer la valeur de l’intégrale I u, riz prise tout le long d’un contour élémentaire quelconque, du

contour (-t- A), par exemple, qui se compose de la ligne CD, //g. »4? du contour infiniment petit DNPD et de la ligne DC. En effet, du centre A, avec un rayon moindre d’une quantité finie que la plus petite des distances AC, AA', AA", AA”, etc., décrivons une circonférence EQR qui coupe la ligne CD en E. Nous pourrons, sans changer l’intégrale, substituer au contour élémentaire (-t- A) un autre contour formé de la ligne CE, de la circonférence EQRE et de la ligne EC. Comme ce dernier a tous ses points à des distances finies des points A, A', A”, etc., rien n’ empêchera de calculer la valeur de l’intégrale

Ç u , riz relative à ce contour par la méthode qui vient d’être exposée.

45. Soient maintenant u,,..., um les m fonctions de z déterminées par l’équation

Appelons A,, A,, A’,. A', , etc., les valeurs de l’intégrale J * u, riz prise tout le long de chacun des contours élémentaires (-t- A), (—A),

J 3a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

(4- A'), ( — A'), etc.; appelons de même A,, A,, A'a, A' ,, etc., les valeurs relatives à ces contours de l’intégrale J'ufdz, et ainsi de

suite, de sorte que généralement A^j, désigne la valeur de l’intégrale

Ç undz prise le long du contour élémentaire (:fc A '*). Ces quantités,

que nous nommerons intégrales élémentaires , et qu’on pourra cal culer comme il a été dit au numéro précédent, étant regardées comme

connues, proposons-nous d’avoir l’expression de l’intégrale f u,dz

prise à partir du point C le long d’une ligne fermée quelconque CLMC, /g.

Soit, pour fixer les idées,

la caractéristique de cette ligne : il suit du n" 10 que l’intégrale

u, dz restera la même, si au contour CLMC on substitue la série

des contours élémentaires (4- A), (— A'), (4- A"), (— A). D’un autre côté, les fonctions u, , «, , u,„ étant partagées relativement aux dif-

férents points A, A', A”, etc., en systèmes circulaires, on saura quelle est la fonction dont u, acquiert la valeur initiale après une révolution de Z sur le contour (4- A); supposons que ce soit u, : on saura de même qu’après une révolution de Z sur (— A'), «, acquiert la valeur initiale de ut , par exemple : enfin, admettons que u, acquière la valeur initiale de «, après une révolution de Z sur (4- A"). Cela posé, la partie relative au contour (4- A) de l’intégrale demandée sera A, ; la partie relative au contour (— A') sera A’. s, et les parties relatives aux contours (4- A*) et ( — A) seront respectivement A' et A„. L’intégrale

Ç u, dz prise le long de la ligne fermée

CLMC sera donc

En général, on voit que la valeur de cette intégrale, prise le long d’un contour fermé passant par le point C. s’exprimera toujours par la somme d’un certain nombre des intégrales élémentaires A,, A,, A',,..., A,, etc.

44. Cette premiere question résolue, cherchons s* présent les valeurs île l’intégrale J" u,dz pour les divers chemins par lesquels on

peut aller de C en K. Soit CMK , Jig. 17, un premier chemin tracé à volonté entre ces deux points : appelons elt e,,..., i>m les valeurs des

Xk /%k /% k

u,th, I utdz,..., I u,„ dz prises le long tie cette

ligne, et proposons-nous de trouver la valeur de l’intégrale J“ u, dz relativement à un autre chemin quelconque CLK.

Soit, pour fixer les idées,

(+ A) (- A') (+ A”) (- A) -4- CMK

la caractéristique de ce chemin : conservons les hypotheses du numéro précédent, et supposons de plus qu’après une révolution de Z sur (—A), «j acquière, par exemple, la valeur initiale de u,. On pourra, n° 9, substituer à la ligne CLK la série des chemins représentés par les différents termes de la caractéristique : alors on trouvera immédiatement pour l’intégrale demandée l’expression

A, -4- A , -t- A4 -4- A, -+- Vj.

On voit par la que les valeurs autres que v, de l’intégrale J" u, dz

s’obtiendront en ajoutant à l’une des quantités *»,, e,,..., i>m une ou plusieurs des intégrales élémentaires A, , A(, A’,,..., A,, etc., la même intégrale élémentaire pouvant être réjiétée plusieurs fois dans cette somme. Observons toutefois qu’on n’aurait pas, en général, une valeur de l’intégrale Ç u, dz en ajoutant à une des quantités v,,

t>„ les produits d’un certain nombre des quantités A,, A„ A’,,..., A,, etc., par des nombres entiers pris au hasard.

fi». Les intégrales élémentaires A,, A,, etc., jouissent de quelques propriétés qu’il est bon de remarquer. Soit u, la fonction dont u, acquiert la valeur initiale après une révolution de Z sur le contour élémentaire (-1- A); réciproquement. Uj acquerra la valeur initiale de