XI T T
UiC dz : l’expression de Àf
se réduit donc à zéro en même temps que p; et comme l’intégrale A, est indépendante de p, on en conclut
47. Il y a un cas remarquable dans lequel on peut trouver entre les intégrales élémentaires des relations dont nous tirerons parti dans la suite. C’est celui où, après une révolution de Z sur un contour A passant par le point C et renfermant tous les points A, A', A*, etc. , dans son intérieur, quelques-unes des fonctions u, , um reprennent
leurs valeurs initiales.
Soit U; une des fonctions qui remplissent cette condition : la caractéristique (A) du contour A parcouru dans le sens direct se composera des termes (-4- A), (4- A'), (4- A"), etc., rangés dans un certain ordre, chacun de ces termes s’y trouvant une fois et pas davantage. Il est permis de supposer les points A. A', A", etc. , nommés dans un ordre tel, qu’on ait précisément
admettons ensuite qu’après que Z a parcouru les lignes fermés qui ont pour caractéristiques (-t- A), (-)- A), {4- A'), (-»- A), (-t- A'), (4- A"), etc., la fonction u, ait acquis respectivement les valeurs initiales de ut., u(., ur , etc. La valeur de l’intégrale / n,- <iz , prise le long du contour A, sera
De l’origine O des coordonnées, décrivons maintenant une circonférence 9, dont le rayon R soit plus grand que la plus grande des distances OA , OA', OA', etc. Il est clair qu’on peut déformer le contour A de manière à le faire coïncider avec cette circonférence sans lui faire franchir aucun des points A , A', A", etc. La valeur de l’intégrale fu( dz, prise le long de la circonférence 9, est donc encore égale à la somme
Mais nous pouvons en trouver une autre expression : en effet, po-
sons z ~ , z' désignant une nouvelle variable, et concevons un
point mobile Z' dont les coordonnées, rapportées à deux nouveaux axes O'af, Oy", soient la partie réelle et le coefficient de y/— i dans z'. Les fonctions de z désignées par u,, , um , deviendront alors des
fonctions de z', qui satisferont à l’équation algébrique
et comme au delà de la circonférence 8 il n’y a pas, à une distance finie de l’origine O, de position du point Z pour laquelle l’équation
ait des racines égales on infinies, de même en dedans du cercle 8\ dont le centre est O' et dont le rayon est il n’y aura pas de position du point Z' autre que l’origine O', pour laquelle l’équation
ait des racines égaies ou infinies. D’ailleurs la fonction u, reprend , par hypothèse, sa valeur initiale après une révolution de Z sur la circonférence 8; par conséquent, elle reprendra aussi sa valeur initiale apres une révolution de Z' sur la circonférence 6'. Le système circulaire dont u, fait partie relativement au point O', ne se compose donc que du seid terme et, par suite, dans l’intérieur du cercle 8\ cette fonction est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de z\ cette série pouvant commencer par un nombre limité de puissances négatives, n" .“8. On aura donc, pour un
module de z' égal ou inférieur à
Uf= + fiiZ'-f*' +...+ Xi+ Xts'- 1- p,z'’ -h... ,
y désignant un nombre entier et positif, et a,-, xit Xt, p.,-, etc., des
coefficients indépendants de z' : on en conclut que, pour un module de z égal ou supérieur à R , on a
u,= ctjzf + pit/-1 -+• ■■■+ xt+ j 4- ^ + ....
Si maintenant on veut avoir l’intégrale ut <tz prise le long du cercle 0, il suffit de faire
x = R«tvCT ,
d’où
dz = y' — i Rerv^ c/t,
et, par conséquent,
cC/4-i)*(P7 d-
j' utdz =
ed* iFî dz
«iR/— r
Jii
■*WL
x,R J' e-* 'f~~' dx \i j
= atrX, y — 1 •
Nous avons donc l’équation
A, -4- Âj. *4- A( » ■+■ A ( .. + • • — * a «X,- ^ i ,
où X, désigne le coefficient de | dans le développement de u, suivant
les puissances descendantes de z, et nous aurons une équation semblable pour chaque fonction ut qui reprend sa valeur initiale apres une révolution de Z sur le contour fermé A qui renferme dans son intérieur tous les points A , A', A', etc.
18. Nous avons dit plus haut, n" 44, qu’on n’aurait pas, en général, une valeur de j u,dz en ajoutant à une des quantités v, ,
v„ des multiples entiers pris au hasard des intégrales élémentaires. Mais il existe certains groupes de ces intégrales qui jouissent d’une propriété remarquable : c’est que la somme des intégrales élémentaires composant un de ces groupes, somme qui est indépendante dec, peut être ajoutée ou retranchée autant de fois qu’on voudra à
une valeur de l’intégrale j u , di, sans qu’on cesse d’avoir une valeur de la même intégrale.
En effet, soit w la valeur de £ u, dz prise le long du chemin
(F ) -+- CMK, en désignant par (F) la caractéristique d’un contour fermé passant par le point C. Séparons d’une maniéré quelconque les termes de (r) en deux groupes (I”) et (T") [l’un de ces groupes pouvant être (o)], de sorte que la caractéristique (T) -t- CMR puisse se mettre sous la forme (r')(r") -+- CMK.. Soit maintenant «„ la fonction dont u , acquiert la valeur initiale après une révolution du point Z sur le contour fermé (T'); on pourra tracer de plusieurs manières un contour fermé passant par le point C tel, qu’après une révolution de Z sur ce contour, la fonction «„ reprenne sa valeur initiale. Appelons (<1>) et (— 4>) les caractéristiques d’un pareil contour, selon qu’il est supposé parcouru dans un sens ou dans le sens contraire. Soit, de
plus, p la valeur de l’intégrale J undz prise le long du contour (4);
cette quantité p pourra s’exprimer, n° 43, par la somme d’un certain nombre d’intégrales élémentaires, et il suit du n° 12 qu’elle est indépendante de la position du point C.
Cela posé, il est clair que l’intégrale J" u, dz prise le long des chemins
(r')($) (I*) 4- CMK,
(r')(4>)(4»)(r) + cmk,
(nWWWn + cm, etc.,
(r)(-4»)(r)+CMK,
(n(-*)(-*Xr')+CMK, etc.,
aura respectivement pour valeurs
— p -+- iv, — a p ■+■ w.
On voit donc que si à la valeur iv de j u, dz on ajoute un multiple
entier quelconque de p, on aura encore une valeur de la même intégrale : nous dirons pour cette raison que p est une période de Tinté-
u, dz.
etc.
etc.,
PURES ET APPLIQUÉES. 43g
Voici maintenant quelques-unes des questions qui se présentent : i°. Trouver toutes les périodes distinctes qui appartiennent à une
valeur de J u,dz: nous entendons que des périodes sont distinctes ,
quand aucune ne peut s’obtenir en ajoutant des multiples entiers des autres; ainsi ip ne sera pas une période distincte de p, ni p -t- q une période distincte de p et de (/.
a". Reconnaître si chaque période p appartient à toutes les valeurs de l’intégale J u, di ou seulement à une partie d’entre elles.
3°. Déterminer les valeurs de J' u, dz qui restent distinctes lorsqu'on fait abstraction des multiples entiers des périodes.
I.a solution de ces questions dans plusieurs cas étendus fait l'objet de la suite de ce Mémoire.
49 l-e cas le plus simple est celui où la fonction u est rationnelle; alors l’équation
est du premier degré, et, par conséquent, ne peut avoir de racines égales; mais la valeur de u peut devenir infinie pour un certain nombre de valeurs de z. Soient a, a', a", etc., ces valeurs, et A, A’, A", etc. , les points correspondants; il sera toujours possible de mettre u sous la forme
E' E' El.,
E, E, , E, É,, É,, etc., désignant des constantes, et er(z) une fonction entière de z.
Les intégrales élémentaires relatives aux contours (h-A), (— A), (-1- A'), (— A'), (-t- A'), (— A'), etc., seront ici indépendantes de la
44o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
position du (joint C, et auront respectivement pour valeurs
-+- a tt E , -asEv'-i) 4- a it E' y' — i ,
— ajtE'v'— i, H- a jrE'V— « » — airE'V— 1
Si donc on appelle e la valeur de l’intégrale J" udz relative à un
chemin déterminé CMR, toutes les valeurs de cette intégrale seront données par la formule
v-t-aKy- 1 («E + n'E' -+- n'E' 4-...),
n , ri, ri, etc. , désignant des nombres entiers quelconques positifs , négatifs ou nuis.
Les périodes atrEy— i, a n E' y — i , a t: E"\ — j, etc., seront généralement distinctes et en même nombre que les valeurs tie z qui rendent la fonction u infinie; mais il n’en serait plus de même si un ou plusieurs des nombres E, E', E", etc., pouvaient s’obtenir en ajoutant des multiples entiers des autres. D’ailleurs les valeurs de l’intégrale J u,dz seront toujours en nombre infini, à moins que les
nombres E, E', E", etc., ne soient tous nuis, auquel cas l’intégrale n’aurait que la valeur v.
Ce qu’on vient de dire de la fonction rationnelle u s’appliquerait également à toute fonction transcendante susceptible d’être mise sous la forme
( j — af z — a'
o(z) désignant une fonction qui n’a qu’une seule valeur et qui reste finie et continue pour toute valeur finie de z. Les constantes E, E', etc., sont ce que M. Cauchy appelle les résidus de la fonction u relatifs aux valeurs a , a', etc. , de z, et les périodes qu’on trouve dans ce cas pour
l’intégrale jf u, di sont bien celles qui ont été indiquées par cet
illustre géomètre. ( Comptes rendus de i Académie des Sciences } année 1846.)
PUKES ET APPLIQUÉES. i4»
Xk ^
7+T1 : *es
quantités E, E', etc., sont ici au nombre de deux et ont pour valeurs -t- V — » et — v — i) d’où résultent, pour l’intégrale, les deux périodes -4- n et — rr ; comme elles sont (•gales et de signes contraires, ces deux jtériodes se réduisent à une seule 4- n. On sait, en effet, que
Xk
j-j-j, sont les différents arcs qui ont k
pour tangente, et que ces arcs sont tous compris dans la formule u -+- n k, e désignant l’un d’entre eux.
