I/orsque l’équation

est du second degré en u, les deux valeurs de u peuvent être mises sous la forme

P, Q, K, S, T, U désignant des polynômes entiers. Supposons, ce qui est permis, que T et U n’aient pas de facteurs multiples, que H soit premier avec S et U, que T le soit aussi, et, enfin, que P et Q soient premiers entre eux; les valeurs de z qui annuleront un des polynômes

Q, R, S, T, U, seront celles qui feront acquérir à l’équation

des racines égales ou infinies.

Appelons A , A', A", etc., les points correspondants aux valeurs de ; qui annulent T ou U, et A, A' , A", etc., les points correspondants aux valeurs de z qui annulent un des polynômes Q, K, S, sans annuler T ni U. Désignons par (i A), ( ± A'), etc., les contours élémentaires qui renferment les points A, A', etc., et par '± A) , (± A'), etc., ceux qui renferment les points A , A' , etc. Enfin, nommons A*, , A*„ A'*,, A^,, etc., les intégrales élémentaires relatives aux contours \ ±. A), (:fc A'), etc., et A^„ A^, , A'±t, etc., les intégrales élémentaires

relatives aux contours (± A) (a: A'), etc.

Un voit sans peine que, relativement a chacun des points A, A', Timfl XV. — NoTtMUE l8$ü. 56

44a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

A", etc. , les deux fonctions u, et u, forment un système circulaire ;

si donc A<0 désigne un quelconque de ces points, on aura , n° 15,

Mais si l’on appelle A,n un des points A , A', A *, etc. , comme , après une révolution de Z sur un contour infiniment petit tracé autour de A ‘\ chacune des fonctions u,, u, reprend sa propre valeur initiale, on aura, n° f6,

En regardant ces intégrales élémentaires comme connues, ainsi que les valeurs »»,, v , des intégrales J" u, dz, £ u.2dz prises le long d’un chemin déterminé CMK, nous saurons trouver la valeur de l’intégrale

dz prise le long d’un autre chemin quelconque CLK , dont la

caractéristique sera donnée. Proposons-nous maintenant de former des expressions générales qui comprennent les valeurs de J' u, dz relatives à tons les chemins CLK par lesquels on peut aller de C en K.

Appelons (A) la caractéristique du chemin CLK; soit [± A-1’] un terme de cette caractéristique gt « le nombre des termes qui le précèdent. lorsque le point Z aura parcouru les contours élémentaires représentés par les n premiers lermes de (A), la fonction u, aura repris sa valeur initiale, ou bien aura acquis la valeur initiale de Dans le

premier cas, la portion de l’intégrale j' u, dz, qui est prise le long

du contour élémentaire ( Atl>], sera A‘J.'t ; dans le second cas, cette portion sera A^\. D’ailleurs la fonction u, reprendra, après que Z aura parcouru ce n -+• i,<m' contour élémentaire, la valeur qu’elle avait après les n premiers. On peut donc supprimer, dans la caractéristique (A), tous les ternies de la forme [it A<‘] J, et se borner à calculer la

valeur de J" u,dz pour le chemin représenté par la caractéristique ainsi simplifiée, pourvu qu'on ajoute à cette valeur une quantité de la

forme

Ai f',> A,,..., /,, A< /j i etc., désignant des nombres entiers

positifs, nuis, et même, si l’on veut, négatifs, puisqu’on a

/L‘î ^(,>= - /‘JJ ^(;), /L‘l ^>= - ü*i ^>.

Il est clair d’ailleurs qu’en disposant convenablement du chemin CLK, on fera acquérir à ces nombres telles valeurs entières qu’on voudra; il suffira, pour cela, d’introduire dans la caractéristique (A) des termes de la forme |:t A{t)\.

Cette caractéristique étant débarrassée des termes de la forme [±A'‘ |, n’en contiendra plus que de la forme | ±. A*'1], outre le dernier qui est -f CMK. Soit

(A') = [± A">] [± A(/>][±: A‘»'][± A1*’] ... [± A"’] -+- CMK

la caractéristique ainsi modifiée : à mesure que Z achèvera de décrire chacun des contours élémentaires qui la composent, il arrivera alternativement ou que la fonction u, acquerra la valeur initiale de u,, ou quelle reprendra sa propre valeur initiale. Si donc le nombre des contours élémentaires qui entrent dans (A') est pair, la valeur de

I u, th, prise le long du chemin (A'i, sera

et si le nombre dont on vient de parler est impair, la valeur de l’intégrale sera