V.= AÏi-H^-f-A^+AL
Appelons B, B,, B,,, B,., etc., tous les résultats qu’on obtient en ajoutant une des quantités A**, A!*,, A*,, etc., à l’une îles quantités A*,, A’*,, A*,, etc.; chacune des expressions V,, V, sera, sauf son dernier ou ses deux derniers termes, la somme d’un certain nombre des
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quantités B, B/t B^, B^, etc., la même pouvant être répétée plusieurs fois. Ainsi on aura
V, = raB + rn B -+- m, B^ *>,,
V, = mB + m. B, -t- ni, B,, -+- . . . -t- A^{ -t- i>„
m,m,, mr, etc., désignant des nombres entiers quelconques, lesquels peuvent être positifs, nuis, ou meme négatifs, puisque les quantités B. B,, B„ sont deux à deux égales et de signes contraires. Observons qu’on a
et, par conséquent.
AL'i = A^i -4- A, + A„
où la somme A^j -+- A, est une des quantités B, B,, B,, etc. : l’intégrale désignée par V, peut donc aussi se mettre sous la forme
i a — m B -t- nif B, + ai, B, -t- ... -t- A, -t- 1
Pour avoir maintenant la valeur de
relativement à un
!X u,dz
chemin quelconque CLK, il suffira d’ajouter la quantité F à l’une des quantités V,, V,. Il en résulte que toutes les valeurs de l’intégrale
définie J" u,dz sont comprises dans les deux formules
où l’on a fait, pour abréger,
+ + /3 /fj +...+ /-a if-, “é l a^, + ...
les lettres /, , / [ / a,---, m, /r*. , w„, etc , dési-
gnant, comme on l’a déjà dit, des nombres entiers positifs, nuis ou négatifs et absolument quelconques. En d’autres termes, toutes les
valeurs de l'intégrale f u, riz peuvent s’obtenir eu ajoutant aux deux
valeurs v, et A, 4- c, des multiples entiers quelconques des quantités
r-i ^ ^ - ir"
etc.
Ces quantités sont donc autant de périodes de l’intégralej u,dz,
et toute autre période de la même intégrale est nécessairement composée de celles-là; niais elles ne sont pas toutps distinctes, et, en ayant égard aux équations établies ci-dessus,
v/iV= - 4<f\ 4-1= - A‘\ AL'i = - A1,0, A<‘> = - A!," ,
on reconnaîtra sans peine qu'elles peuvent être réduites aux suivantes :
A*, 4- A",., etc.
Ces dernières périodes seront distinctes en général; mais, dans des cas particuliers, elles pourront se réduire à un nombre beaucoup moindre.
Il suit de la remarque laite au n° 46, qu'une période telle que A, ou /7j est indépendante des limites c et k et peut être regardée
comme la valeur de l’intégrale Ç u, dz ou J" u, dz prise tout le long
d’un contour fermé infiniment petit qui renferme le point A. Une période telle que A, 4- Aa exprime la valeur de l'intégrale J" (u,+ ut dz
prise tout le long du contour élémentaire {-(-A); niais, comme la fonction u, 4- u , reprend sa valeur initiale après une révolution de Z sur ce contour, l’intégrale dont il s'agit est indépendante de la position
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durpoint G, n" II, et peut être considérée comme prise tout le long d’un contour infiniment petit qui entoure le point A. Enfin, une période telle que A, -t- A, est égale à la valeur de l’intégrale j' u, dz
prise le long du contour fermé qui a pour caractéristique (4- A) (-4- A'); comme après une révolution de Z sur ce contour la fonction u, reprend sa valeur initiale, l’intégrale ou , ce qui est la même chose, la période A, -(-A', sera indépendante de la position du point C et pourra être considérée comme prise tout le long d’un contour fermé assujetti seulement à renfermer les points A et A', avec cette condition toutefois qu’il puisse se réduire au contour (-4- A) (4- A') sans franchir aucun des points A, A', A", etc., A, A\ A ", etc. On voit donc que toutes les jiériodes dont le tableau a été donné ci-dessus seront bien indépendantes des limites c et A: de l'intégrale J" u, dz.
Nous venons de dire que la période A, 4- A's était égale à la valeur de l’intégrale J u, dz prise le long d’un contour fermé qui entoure les
deux points A et A'. Soit ADHD' A',/ïg. a5, une ligne tracée entre ces points et avec laquelle le contour dont il s’agit puisse se confondre sensiblement sans franchir aucun des points A, A', A', etc., de sorte que ce contour puisse être regardé comme formé de la ligne DHD'. du contour fermé infiniment petit D'E'F'D', de la ligne iyHD, et enfin du contour infiniment petit DEFD. On voit aisément qu’il y a un cas
fort étendu où les portions de l’intégrale J u,dz relatives aux contours infiniment petits DEFD, D'E'F'D' tendent vers zéro , à mesure que les dimensions de ces contours diminuent elles-mêmes jusqu'à zéro; ce cas est celui où la limite du produit (z — a) u,, pour z = a, et la limite du produit (z — «')«,, pour z — a'. sont milles l’une et l’autre. En effet, pour des valeurs tres-petites du module de z — a, la fonction «, est développable suivant les puissances entières négatives
et positives de (z — a)* : si donc le produit (z — a)u, se réduit à zéro jiour z = a, le développement de u , doit être de la forme
Mais il est permis de prendre pour le contour DEFD une circonférence décrite du point A comme centre avec un rayon très-petit p et de faire sur cette circonférence
d'ou
z — a pC'f—', dz = \j — i peT dz :
il s’ensuit que la partie de l’intégrale j' u, dz relative au contour DEFD est égale à
/•»« lyCT,
dx
Bef
eT'/-r' d r
dz
: /*atr
= - a(a P’ h- jCpi -t-gEpi +... j.
et l’on voit qu’elle s’annule en même temps que p , comme nous l’avions annoncé. On prouvera de même que la portion d’intégrale relative au contour D'E'F'D' se réduit à zéro en même temps que les dimensions de ce contour. Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la période A, -+- A’, est la limite de la somme «les portions d’intégrale relatives aux deux chemins DHD' et D'HD, quand les points D et D' tendent respectivement vers A et A' : mais lorsque le point Z, après avoir parcouru le chemin DHD', revient suivre le chemin D'HD, en faisant le tour du point A', la fonction u, ne reprend pas les valeurs par lesquelles elle était passée d’abord, mais acquiert les valeurs qu’aurait eues dans un ordre inverse la fonction u„ en partant du point D. La somme des portions d’intégrale relatives aux chemins
DHD’ et D'H!) est donc la même chose que l’intégrale f (u, — u2)dz
prise le long de la ligne DHD', et en passant à la limite, on en conclut que la période A, -F A’, est égale à la valeur de l’intégrale
u, — u2)dz prise le long de la ligne AHA'.
Ajoutons que, dans le cas que nous venons de considérer, la somme A, -t- A, se réduit à zéro; car elle exprime la valeur de l’intégrale j' ( u , -t- u,)dz, prise le long du contour DEFD; or on a, en prenant pour ce contour la circonférence du rayon /»,
«, -+- «3 = a B -t- a D (z — a) -t- a F (z — a)’ -+- . . . , et, par conséquent,
f («. + ut)dz
On voit, de la même manière, que la somme A', -t- A', est aussi nulle; ainsi les périodes A, -t- A,, A‘, -t- A',, disparaissent, tandis que les périodes A, -t- A’,, A, -+- A', , étant égales et de signes contraires, n’en font plus qu’une seule distincte.
Lorsque le nombre des points A, A', A", etc., sera un nombre pair 2 zi, on pourra appliquer la remarque du n® 47. Dans ce cas, eu effet, chacune des fonctions u, , n, reprendra sa valeur initiale apres une révolution du point Z sur le contour A qui, passant par le point C, enveloppe tous les points A , A', A", etc., A , A\ A’, etc. La caractéristique (A) de ce contour contiendra deux sortes de termes qui jjourront s’y trouver entremêles, les uns de la forme [-+- Af4)], les autres de la forme [-+- A{,)\. Supposons, ce qui est permis, que les contours élémentaires (h- A), (-+• A*), (-+- A")...., [-t- A'*"- *J], [-+- At*"“,)], s’y trouvent dans l’ordre où nous venons de les écrire, sauf les termes de la forme [h- A“’] qui peuvent se trouver entre eux. Appelons [-+- A^ï], [+ A^ J, [+ A <**>], etc., ceux de ces derniers qui, dans la caractéristique (A), ont avant eux un nombre pair de termes de la forme [-t- A11'], et [+ A^\ , [-+- A'''^\ , [-t- A '* ], etc. , ceux qui ont avant eux un nombre impair de termes de la forme [-+- A'°|. L’équation du n" 47, appliquée successivement aux deux fonctions u, et uly nous
Bfi jf,Vv'~,rfT Dp’jf — o.
donnera
4- Aa 4- A , 4- A 3 4- A, 4- ... 4- A‘“ 4- A^’ 1 — ‘Jt ItA) \ — *•
À, el ) j désignant les coefficients de dans les développements de u, et de , suivant les puissances décroissantes de z.
Le premier membre de chacune de ces équations est la somme d’une partie des périodes contenues dans le tableau ci-dessus • lorsque X, et À, seront nuis, on tirera de là les valeurs de deux de ces périodes exprimées chacune par la somme • t signe contraire de plusieurs
autres, ce qui permettra de réduire de deux unités le nombre des périodes distinctes.
SI. Faisons maintenant quelques applications de ce qui vient d’etre dit dans le numéro précédent, et, d'abord, supposons que l’équation entre u et z soit
h désignant une constante. Appelons A le point qui répond à z = n, et autour duquel les fonctions u,, u, forment un système circulaire:
l'intégrale j u,ctz n'aura qu'une seule période A, 4- A,, qui exprime
l’intégrale j ' (u, 4 -ut)dz, prise sur le contour élémentaire (4- A). Mats, dans l'exemple dont il s'agit, on a
il en résulte
La période est donc mille, et l’intégrale £ u, dz n'a que les deu
valeurs v, et A, 4- e,.
