Prenons ensuite l'équation
appelons A et A' les points correspondants k z = a et à z = a' ; relativement à chacun d’eux , les fonctions u, et u, forment un système circulaire. Les expressions générales des périodes données au n" 50 se réduisent ici aux quatre quantités
A, 4- A j « A, 4- A, , A3 4- A, , A, 4- As;
mais, de la relation u, 4- u, — o, on conclut
et, par suite,
Ainsi les quatre périodes se ramènent A une seule distincte A, 4- As ; comme le produit (z — a)u , se réduit à zéro pour z = a, et qu’il en est de même du produit (s — a')u, pour z = a', il suit d’une remarque laite au n" 50, qu’on peut regarder la période A, 4- A', comme exprimant la valeur de l’intégrale
u, dz
prise le long de la droite AA'. Pour en trouver la valeur, posons
z' étant une nouvelle variable à laquelle on peut faire correspondre un point mobile Z'. Les limites île z étant a et a ’, celles de z' seront — i et 4- t , et lorsque le point Z décrira la droite AA', le point Z' décrira la portion de l’axe des x comprise entre les deux points qui répondent à z' = — i , z' = 4- t, On aura donc
ih r Hg = = aA r+,7i^==-?L ry^..
Ja v(z — a){t — o’) J— I I v~ 1 e— i VI — s’’
PURES ET APPLIQUEES. ',5i
en supposant que z' passe de la valeur — i à la valeur -+- i |>ar une suite de valeurs réelles et croissantes; mais, sous cette condition , on a
par conséquent la période unique de l’intégrale f u, riz est .
Je <J— I
ou, si l’on veut, =: i n h \ — i, car il importe peu qu'on
change le signe d’une période.
On peut l’obtenir autrement en observant que les points A, A' sont ici en nombre pair, et qu’ainsi on peut appliquer la remarque qui
termine le n° ;"»0. Les coefficients de dans les développements de u,
et de «j, suivant les puissances décroissantes de z, sont e t q: A;
les deux équations établies à l’endroit qu’on vient de citer deviennent donc
A, -f- A, = ±. ajrAv^T, A, H- A', = — a n h v'— i ;
on retrouve bien , pour la période A, +• A', , la même valeur i a rr h y — i .
Faisons, en particulier.
de sorte qu’on ait
et posons
u, désignant celle des valeurs de u dont la valeur initiale est -t- i pour * = o. Les diverses valeurs de v sont les arcs en nombre infini qui ont z pour sinus; en d’autres termes, on a
z = sin v ;
la période ± nth\j~ se réduit ici à an, ce qui s’accorde bien avec
45a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
l'équation connue
sin ( v -+- a In) = sin v ,
nu / désigne un nombre entier quelconque.
Si au lieu de l’équation
(z — a)(z — a') u 1 = h \ on eût considéré celle-ci :
ou eût trouvé de la même manière, pour la période unique de I intégrale f u, riz, l’expression
ith^a* — a}’
Passons à l’équation
la méthode générale fournira pour les périodes de l'intégrale J u, ilz les neuf quantités
A',-t-A'a, A’, -+• A*,, Aa -f- A g , A,-t-Aj.
Mais , a cause de la relation
on a
A , -+- A, = o. A‘, ■+■ A'j = o. À", -f- Aj = o ;
il en résulte
A,-*- A',= A, — A',, A, +A',= — (A* — A,), A,-t-A’, = -(A, -A’,), A,-t- A' = A', — A,, A>a;=A',- A', A'. + A'.rr-ÎA'.-A',),
ce qui réduit les périodes précédentes aux trois suivantes :
et celles-ci à leur tour, avant zéro pour somme, se réduisent à deux
PURES ET APPLIQUÉES. 4‘>'i
distinctes pour lesquelles on peut prendre
ou, si l’on veut, n" 45,
Ces deux périodes peuvent être regardées, n" 50 , comme les va
leurs des intégrales J“ ( u , — ut)ds, J" («, — u2) dz prises le long
de certaines lignes AH'A', AH'A" menées du point A aux points V et A”, et en disposant convenablement des lignes CDA , CDCA', CD" A", Jig. ta, avpc lesquelles les contours (A), (A'), (A*) se confondent sensiblement, on peut supposer que les lignes AH'A', AH'A" sont précisément les droites AA', AA". Alors, si l’on veut exprimer ces •périodes par d’autres intégrales où la variable passe de la limite infé rieure à la limite supérieure par une suite de valeurs réelles et croissantes, il suffira de faire dans la première
et dans la seconde
z'Jel z" désignant deux nouvelles variables. Supprimant ensuite les accents de ces lettres sous le signe intégral , on trouvera que les deux périodes sont
Si l’on avait, par exemple,
l’une de ces périodes serait le produit de l'autre par \j— i.
5i Supposons maintenant que u soit déterminée par l'équation (a — ri) (a — a')(z — à ) (z — a' ) u* = h* ; nous trouverons d’abord les seize périodes :
Aj-t-A', Aa-4-A",
Y, -h As,
A, 4- Aa, A l’aide des équations
A, -4- Aj = o, A, -H A j — o, A, H- À t — qui se déduisent de la relation
ut -+- «, = o,
on réduira ces périodes à six , savoir :
A, — A’, , A,— A*,, A,-A% A', — A’ , A', -Al, A'.-A*;.
La quatrième est la différence des deux premières; la cinquième est la différence de la première et de la troisième; enfin la sixième est la différence de la deuxième et de la troisième: de ces six périodes, il n’y a donc lieu de conserver que les trois premières, savoir :
Mais les points A, A', A', A" étant en nombre pair, on peut appliquer ici la remarque du n° 47. Supposons ces points A, A', A", A" nommés dans un ordre tel, que le contour fermé (4- A) (4- A') (4- A") (4- A') puisse, sans franchir ces points, se réduire à une circonférence ayant l’origine des coordonnées pour centre et les renfermant tous quatre; observons, de plus, que les développements de u, et de u, suivant les
puissances descendantes de. z ne contiennent pas de terme en ^ ; nous obtiendrons les deux équations
A , -H A 2 "i- A g 4* A j — o, Aj “t* A , + A , -t- A , ~ o,
1 esquelles, en vertu des relations
PURES ET APPLIQUÉES, se réduisent à l’équation unique
ou bien
Ai — A"= A, — A' — (A, — A’,).
De tonies nos périodes, il n’y en a donc définitivement que deux distinctes, savoir :
ou, si l’on veut,
On voit, comme au numéro précédent, que ces deux quantités peuvent être regardées comme les valeurs des intégrales J' (w, — u,)dz,
J (a, — u,)dzi ou ce qui est la même chose, a / a, riz , u / a, d:
prises respectivement le long des droites AA', AA".
Supposons, par exemple, que l’équation en a soit
où A est un nombre positif moindre que i . Prenons l’origine O des coordonnées pour point de départ de Z; appelons a, celles des deux valeurs de z dont la valeur initiale est h- i , et nommons A, A', A*, A'
les points qui répondent respectivement aux valeurs -h, -+- -, — i,
— \ de z. Alors, pour périodes de l’intégrale f u,dz , nous pour-
Jq
rons adopter les deux sommes A, -*-A’,, A, -t- A',, ou. ce qui est la même chose, les deux quantités
dz
dz
ces intégrales étant prises le long des droites AA', AA". I)e ces deux périodes, la seconde est réelle et égale à
Jo sfTi— — A’ï’)’
l’autre est imaginaire et égale à
rl Ht
~ “ V ‘ Jï, V(«* A*
En posant
i - A* = kJ\ z = l y/T- A'1 s'»,
on ramènera cette dernière quantité à la forme
Si clone nous faisons avec M. Jacobi ( Fundament a tim'd , etc.)
Jo V(< — **} (i — A* a1) Jo V{ * — *M (* — J'1*1)
où z est supposée croître île zéro à l’unité par une suite de valeurs réelles, les deux périodes de l’intégrale jj u, dz seront 4 R et a K' y — i*
Posons
jf «I dz = e;
î sera la fonction de v que M. Jacobi appelle sin am v : il suit de ce qui précédé que z conservant la meme valeur, on peut ajouter à v des multiples entiers quelconques de 4 K et a K'v — i ; en d’autres termes , on aura
sin ani(i> + 4/R+ a /'K'V— t ) = sin am v,
I et /' désignant des nombres entiers quelconques. On retrouve ainsi une propriété connue des fonctions elliptiques.
Faisons à présent
.r étant une nouvelle variable : celte variable sera précisément la fonction de t> représentée par cos am u. Dans l’équation différentielle
c/i*1 — u\ dz
Hz ■
PURES ET APPLIQUEES, introduisons la variable x au lieu de z; il viendra
fix*
donc
'’ = J' u\dz,
u , désignant une fonction de z qui satisfait à l’équation (i - z')(A'J+ /t»z*)a'*= i.
Si l’on veut appliquer à cette intégrale la théorie précédente, on prendra pour les points A, A', A”, A", ceux qui répondent respectivement aux valeurs -j- ■ , * V— t » — t , — • y V* — t » et les deux
périodes seront A, -t- A', , A, ■+• A',. La période A, -t- A', est égale à
l'intégrale a I c/z prise le long de la droite AA', ou, ce qtq
est la même chose, à la somme de l’intégrale a f u\ dz prise le long
»'/— fi*-1
de la droite AO, et de l’intégrale a I u\ dz prise le long de la droite OA', O étant l’origine des coordonnées; on a donc
, o f° di r, r*
où les intégrales du second membre sont ce que M. Cauchy appelle des intégrales rectilignes. Si l’on fait, dans la première,
et qu'ensuite on supprime l’accent, on trouve
J, V(* — a*»*) Jo Ve -*’)(> — *'»*)
et si . dans la seconde , ou pose
