Tome XV . — Décente i85o

on trouve de meme

f* dl =y-' f 'h

^0 v'f' — X yj{ i — **) (i -*'■*•)

il en résulte

L’autre période A, +A, est la valeur de l’intégrale a J u\ <lz, prise

le long de la droite AA" ; on a donc

. •• C~' dl / r° '/*

Ainsi, pour les deux périodes de l’intégrale £ u\ i/z, on peut prendre les deux quantités

4K, a(K-KV~),

et, par conséquent, on retrouve la propriété de la fonction cosam e exprimée par l’équation

cos am [«> -a- 4 / K -+- a /'(K — K'\' — t)| = cos am t>.

Soit enfin

r désignant encore une nouvelle variable : cette variable sera la fonction de v représentée par Aame. L’équation différentielle

deviendra

rtv* — T

•ir-

on aura donc

y'){y — *") ‘ v = f' u\dz,

u’t désignant une fonction de * qui satisfait à l’équation (, zJ)(z*- = i.

PURES ET APPLIQUÉES. 45g

Pour 1rs points A , A', A", A', on pourra prendre ici ceux qui répondent respectivement aux valeurs U, -+- i , — k', — i de : , et alors on trouvera, pour valeurs des périodes A, -+- A‘, , A, -+- A *s . les intégrales rectilignes

f • <ti

Jk v'(T—

ç-r <h — ck «/»

J Jf «—*’)(*’ -r*5î) ~ — 4 j» *>)(*■—

La première est réelle, et en y faisant

elle devient

a / , — tttt— = a K ;

la seconde est imaginaire , et , en posant

elle prend la forme

l.’intégrale I u\dz ayant les deux périodes a K , 4 V — 1 >

on en conclut l’équation

A am (i> -4- a / E + t\l' VJ \J — i ) = A a m v ,

qui est également une formule connue de la théorie des fonctions elliptiques.

On voit que les deux quantités

sont des périodes communes aux trois fonctions sin am v, cosam v, A aine; car. pour reconnaître que 4E'\ — t est une période de

/|6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

cos am o, il suffit d’observer qu’on a

4 K. — i(aK — îR'y - î ) = 4K'v — i ;

ainsi, en désignant par 9(e) une quelconque de ces fonctions ou une fonction rationnelle des trois, on aura

55. Dans le cas du numéro précédent, les trois périodes A, -A’,, A,-A'„ A, -Al ont été réduites à deux en vertu île l’équation

mais cette réduction n’aurait plus lieu, en général, si la fonction u, était déterminée par l’équation

[z — rt)(z — a') (s — a") (z — a") n1 — H’ = o,

où H désigne un polynôme entier en z qui n’est divisible par aucun des quatre facteurs z — a, z — a', z — a", z — a’. Il sera inutile,

dans la recherche des périodes de Tinté

légralej* u,

Hz, d’.

égard

aux points A, A', A ", etc., correspondants aux valeurs de z qui annulent H; car chacune des fonctions n , reprendra sa valeur initiale après une révolution de Z sur un quelconque des contours élémentaires ( A), (A'), {A"), etc., et les intégrales élémentaires correspondantes seront toutes milles. En désignant par A, V, A', A" les points pour lesquels z a respectivement les valeurs u, a' , n', a ',

on trouvera, comme au numéro précédent, que l’intégrale^* u,i/z admet les trois périodes

Mais la considération de la circonférence décrite de l’origine des coordonnées comme centre et renfermant les points A, A', A”, A', A , A ', A" , etc., nous donnera ici l’éqnalion

on liien

p' — p" + p"= anXV— 1<

). désignant le coefficient de ^ dans le développement de l'expression

suivant les puissances descendantes de z. Tant que le polynôme H ne se réduira pas à une constante, le coefficient X ne sera pas nul, au moins en général ; les périodes p', p“ , p" seront donc distinctes et ne se réduiront à deux que dans des cas particuliers.

;>ti. Passons à présent au cas où la fonction u est déterminée par l’équation

h désignant une constante et a, fl',..., fl1"-1 des quantités toutes inégales. On trouvera sans difficulté que les périodes de l’intégrale

f u,(tz

se réduisent aux n — i suivantes :

Os périodes seront, en général, distinctes, si le nombre n est impair; mais, s’il est pair, la considération de la circonférence qui renferme tous les points A, .V, A", etc., conduira à l’équation

(J*-*! fJt — « .

ou bien

en vertu de laquelle les n — t périodes se réduisent à « savoir :

distinctes .

En d’antres termes, le nombre des périodes distinctes est a n, lorsque le nombre des quantités a, a’, a ", etc., est an -t- i ou aa-t-a. sauf le cas où ce dernier nombre étant égal à a , celui des périodes est t .

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Observons que les périodes p', p", p~, etc., ne sont autre chose que les valeurs de l’intégrale

prise le long des droites AA', AA', AA", etc.

57. la* nombre zi étant supposé pair, considérons encore l’équation (z - «)(z- a'){z - «")...[* -«<»-•*]«* - H» = o.

où H désigne un polynôme entier en z qui n’est divisible par aucun des facteurs z — zi, z — o', z — a", etc. Par les mêmes raisons qu’au ii° .55 , il sera inutile de tenir compte des valeurs de 3 qui annulent H :

les périodes de l’intégrale^' u,dz seront donc, comme tout à l’heure,

les 11 — 1 quantités

Mais tandis que tout à l’heure ou avait l'équation />' — p" -+- p' — . ..4- p"'~'' = o,

qui réduisait a z/ — a le nombre des périodes distinctes, on aura ici, n" 50 ,

P' — p‘ + = art), v

z. désignant le coefficient de dans le développement de l’expression

suivant les puissances descendantes de z, et tant que X ne sera pas nul , les zi — 1 périodes resteront, en général , distinctes.

Le coefficient X serait nul si le degré du polynôme H était moindre

que ” — 1 ; alors le nombre, des |>ériodes se réduirait à zi — 2. C’est ce qui arriverait, par exemple, pour l’intégrale

Jf s/p

P désignant mi polynôme du sixième degré en z; au lieu de cinq périodes distinctes,' cette intégrale n’en aura que quatre.

Un autre cas où X serait nul est celui ou les polynômes H et ( z — n ) ( ■• — a’).. [z — a'*-0] seraient l’un et l’autre ties fonctions paires tie z, le degré du second étant, en outre, un multiple de 4-

38 11 est aisé de retrouver dans ce qu’on vient de dire les périodes des fonctions de plusieurs variables introduites par M. Jacobi dans la théorie des transcendantes abéliennes. Soient, par exemple, u et u' deux fonctions de z satisfaisant respectivement aux équations du second degré,

(z — a)(t — o') (z — a") (z — a") (z — rt") (o'-*- (3 ' z)* = o;

l’intégrale J u, dz ayant, comme on l’a vu précédemment , quatre

périodes, on peut, sans changer les limites et en disposant convenablement du chemin parcouru par le point Z, faire prendre à cette intégrale une valeur aussi voisine qu’on voudra d’une quantité donnée quelconque. Si donc on pose

on ne pourra regartler z comme une fonction de t\ puisque, z restant le même, e peut varier par degrés aussi petits qu’on voudra. Mais si l’on fait

J udz+j'^ udz = v , J" u’dz+j' u’(fz=rv',

les intégrales j udz, J u'dz étant prises le long d’une même ligne CMZ, et les intégrales jf udz, J u'dz aussi le long d’c

line meme

ligne C'M’Z', on peut prouver, à l’aide du théorème d’Abel, que z et z' sont des fonctions déterminées de v et de v' ; nous poserons donc

Concevons maintenant qu’on vienne à changer le chemin CMZ, les points extrêmes C et Z restant les mêmes : si l’on appelle p , «/, r, s les

périodes trouvées ci-desstis de l’intégrale J" ntt:, et p', (/', r', s' les

périodes «le l’intégrale Ç it’dz, les intégrales f utiz, J' n‘ dz

s’accroîtront respectivement des quantités

h p -+- iV/ -+- kr -t- Is, hp' ■+■ 19'+ kr' + Is',

où h, k, i , l désignent quatre nombres entiers quelconques ayant les mêmes valeurs dans les «leux formules. En effet, pour les deux fonctions « et les points A, A', A", A”, V* sont les mêmes; par conséquent, tout contour fermé aura la même caractéristique relativement à ces deux fonctions.

On voit de la même manière que si l’on vient à changer le chemin C' M' Z', les points extrêmes C' et Z' restant les mêmes, les deux intégrales r "*■ r u' dz augmenteront encore respectivement de quantités de la forme

hp -4- 19 -t- kr -t- Is, hp' -t- iq' -l- kr' -t- ls' .

Ainsi les quantités s et z', ou, si l’on veut, les fonctions ç> («>, t»'), <p'(e, e') gardant les mêmes valeurs, on peut ajouter à la variable «’ l’expression

hp -+- iq -t - kr -s- ls,

pourvu qu’en même temps on ajoute à la variable v' l’expression hp' -t- iq' -t- kr' ls'.

En d’autres termes, on a les deux équations

<p (y -+■ hp -f- iq -+- kr -+- ls, v‘ -+- hp' -(- iq' -t- kr' -t- ls') — f (t>, «•'), <p'(v ■+■ hp + iq ■+■ kr + ls, v' -+- hp' -t- iq' -t- kr' -t- ls') = ?'(*», t»').

On retrouve ainsi pour les fonctions q et f' le caractère de quadruple périodicité signalé par M. Jacobi dans un Mémoire qui fait partie du Journal de M. Grelle ( tome XIII , page 55) : on voit d’ailleurs ce que

sont les |>ériodes p, q, r, s , p', q\ r', s’. Appelons A, A', A', A”, A" les valeurs de l’intégrale j' udz prise respectivement le long des contours élémentaires (4- A), (-»- A'), ( 4- A"), (4- A'), (4- A"); soient pareillement A(, A', A', A", A” les valeurs de l’intégrale^' u‘dz pris**

le long des mêmes contours; on pourra adopter pour ces périodes les valeurs suivantes :

On peut dire encore que si l’on joint le point A k chacun des points A', A”, A”, A”, les périodes p, q, r, s sout les valeurs de l’intégrale

a Ç udz prise le long des lignes AA', AA', AA', AA", tandis que les

périodes pf, q ', r', s' sont les valeurs de l’intégrale 1 J u' dz prise le long de ces mêmes lignes.

La proposition qu’on vient d’expliquer peut être aisément généralisée. Soient a, a', a', etc., des quantités inégales quelconques au nombre de am ou am — 1 : appelons u, «<•*-’» des fonctions

de z satisfaisant respectivement aux équations du second degré

(z — a) (z — a') (z — a")... u’ — (a -+- /3z 4-... 4- tz®-*)* = 0,

(z — «)(z — a')(z — a’)... «** — (a' 4- jS's 4-... 4- s z"-*)1 = o,

(z— a)(z— fl')(z— a*)... b'"*-»'’— [a ",,l4-^("-,iZ4-...4-r"-,)z"-*],=:o. Posons

udz -h

u'dz 4-

udz 4-... 4tt'</z4-...4-

dz 4-

lm-,'dz 4-... 4-