PROPOSITION VIII

THÉORÈME

Une Jonction d'un nombre impair n de lettres, qui a moins de n valeurs distinctes, ne peut en avoir plus de deux.

Je vais démontrer généralement que si le théorème a lieu pour les fonctions de « — a lettres, il a lieu aussi pour les fonctions de n lettres; et comme il est évidemment vrai pour les fonctions de trois lettres, il sera vrai aussi pour les fonctions de cinq, de sept, etc., d’un nombre impair quelconque de lettres.

Soit

une fonction de n lettres qui a moins de n valeurs distinctes, n étant un nombre impair au moins égal à 5.

Soient a et b deux lettres quelconques, et faisons toutes les permutations des n — a autres lettres

sans changer la place ni de a ni de b; comme nous admettons qu’une fonction de n — a lettres qui a moins de n — a valeurs, ne peut en

avoir plus de deux, le nombre des valeurs de V résultant des permutations des n — a lettres c, fl,..., k, l sera nécessairement l’un des quatre suivants

Nous allons faire successivement ces quatre hypotheses.

i“. La Jonction V est symétrique par rapport aux n — a lettre p c. d,..., k, l.

Alors elle aura, d’après la proposition IV, n ou — - 1 ou n (n — 1

valeurs distinctes. Cette hypothèse n’est donc pas admissible puisque V a moins de n valeurs.

a“. La Jonction V a deux valeurs par les permutations des n — a lettres c, d,...,k, l.

Alors, d’après le corollaire de la proposition V, la fonction V n'a en tout que deux valeurs, puisqu’elle en a moins fie n.

‘i°. La Jonction Van — 2 valeurs par les permutations des n — 1 ' lettres c, d,..., k. I.

Alors, d’apres la proposition VI, il est impossible que la fonction V n’ait que n — a valeurs par les permutations des n lettres, parce que « — a est un nombre impair; elle en a donc 7i — 1 . Mais alors, d’apres la proposition 111 (corollaire), la fonction V est symétrique par rapport à 71 — a lettres , et , par conséquent , elle a 71, " ou n in — 1)

valeurs. Cette hypothèse est donc inadmissible.

4“. La fonction V a n — I valeurs par les permutations des 71 — 2 lettres c, d,..., k , /.

Comme la fonction V n’a en tout que n — 1 valeurs, d'après la proposition VII, la fonction

a n-~- valeurs par les permutations des n — 1 lettres c, d,..., k, l. Mais on a

■io JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

el nous admettons qu'une fonction de n — a lçttres qui a moins de n — i valeurs, n’en a au plus que deux , donc la fonction X a une ou deux valeurs seulement , et, par conséquent, on doit avoir

c’est-à-dire

= l ou = a ,

n — 3 ou n = 5.

Nous avons supposé n > 3, donc l’hypothèse que nous discutons en ce moment est inadmissible, à moins que n ne soit égal à 5. Mais elle l’est encore dans ce cas, car une fonction de cinq lettres ne |>eiit avoir quatre valeurs par les permutations de trois lettres, à cause que é| n’est pas un diviseur du produit i.a.3.

('ondusion. Ou voit que la seconde de nos quatre hypothèses est seule admissible, et, par conséquent, si la fonction V a moins de « valeurs, elle ne peut en avoir plus de deux.