PROPOSITION IX

THéOltfeHE.

Une Jonction d'un nombre impair n de lettres, qui a précisément n valeurs, est symétrique par rapport à n — i lettres.

La démonstration suivante suppose n au moins égal à 5, mais pour les fonctions de trois lettres, le théorème est presque évident [ *].

Soit

[•] Soil

une fonction de trois lettres qui a trois valeurs. Si V n’est pas symétrique par rapport aux deux lettres a et b, soient V, et V, les deux valeurs que prend cette fonction par les permutations de ces lettres, et V, la troisième valeur de V ; on a

V, {V, + V,4- Vj)— (V,4- V,)^

d’où il résulte que V, est symétrique par rapport à a et b, Done V est symétrique par rapport à deux lettres.

PURES ET APPLIQUÉES. ai

une fonction d'un nombre impair n de lettres, qui a précisément n valeurs.

Soient a et b deux lettres quelconques, et faisons toutes les permutations des n — a autres lettres

il en résultera pour V un nombre de valeurs qui sera l’un des suivants

Mais, d’après la proposition VIH, n — a étant impair, si ce nombre de valeurs est inférieur à n — a, il est au plus égal à a , ce sera donc l’un des cinq nombres

Nous allons faire ces cinq hypothèses.

i°. La Jonction V est sf métrique par rapport aux n — a lettres ct if,..., A, /.

Alors, d’après la proposition IV, le nombre des valeurs de V ne peut être égal à n que si cette fonction est symétrique par rapport à n — i lettres.

a”. La Jonction V a deux valeurs par tes permutations des n — a let tirs c, d,..., k, l.

Cela est impossible d’apres le corollaire de la proposition V.

3". La Jonction V a n — a valeurs par les permutations des n — a lettres c, d,..., k, l.

Alors, d’après la proposition III, la fonction V ayant en tout n valeurs et n’en ayant que n — a par les permutations de n — a lettres, a une ou deux valeurs par les permutations de « — a lettres. Par conséquent, le nombre de ses valeurs ne peut être égal à n , que si elle est symétrique par rapport à n — - i lettres.

4°. La fonction V a n — t valeurs par les permutations îles n — a lettres c, d,..., k , l.

Alors, d’après la proposition III, la fonction V est symétrique

aa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

par rapport an — a lettres, et, par conséquent, elle ne peut avoir n valeurs. que si elle est symétrique par rapport à n — i lettres, d’après la proposition IV.

5°. La Jonction V prend ses n valeurs par les permutations des n — a lettres c, d,... k , l.

Cela est impossible, d’apres la proposition VI, parce que n est un nombre impair.

Conclusion. La premiere, la troisième et la quatrième hypotheses sont, comme on voit, seules admissibles, et quelle que soit celle qui a lieu, la fonction V est nécessairement symétrique par rapport à n — i lettres; ce qu’il fallait démontrer.