Tome XV. — Ütcumi i85o

Jd—'' Jd— ”

jd—

udz = o, u’di= d,

u<m-*dz =

les intégrales qui ont pour limites c et z étant toutes prises le long d'une même ligne CMZ, celles qui ont pour limites c' et z' étant également prises le long d’une même ligne C'M'Z', et ainsi de suite. On pourra regarder z, s',..., comme des fonctions de v, t*1”"’ ,

et écrire

Si maintenant on désigne par p , q,..., t les un — a périodes de l’in -

tégrale^* udz, par p\ q',..., t’ celles de l’intégrale J u'dz, et ainsi

de suite, on prouvera, comme tout à l’heure, que l’on a, pour une quelconque des fonctions <p,

[v -+- hp -t- iq +■■■+ It,

u'-f- hp'-h iq’+...-\- I = t»'"-*'],

„(«■->' hp,m-*'-*- «7 <"-»> + ..,+ //'"-’'J

h , I étant des nombres entiers quelconques. Quant aux périodes

p , q,..., t, p', q' , etc., on les exprime sans peine à l’aide des notations adoptees précédemment : en effet, soient A, A', A", etc., les valeurs

de l’intégrale J udz prise le long des contours élémentaires ( -t- A ) , (-t- A'), (+■ A"), etc.; soient A,, A], A”, etc., les valeurs de l’intégrale Cu'dz prise le long des mêmes contours, A,, A^, A", etc., celles de l’intégrale J' u"dz, et ainsi de suite: on pourra prendre

A A „<am-ai A A»

P — 7 — 'X(aiB--a) —

Itm- a)

tl2m 11 — A (am— a, A(lm,,.

On peut dire encore que les périodes p , q,..., t sont les valeurs de l’intégrale a Çudz prise le long des lignes AA', AA",..., AA'*'"‘,! ;

pareillement, les périodes p', t' sont les valeurs de l'intégrale

a j’u'rfz prise suivant les mêmes lignes, et ainsi de suite.

f»9. Après avoir montré comment notre théorie fournit le nombre

et l’expression des périodes de l’intégrale J’ utlz, dans le cas où la

fonction u dépend d’une équation du second degré, nous allons encore l’appliquer à des fonctions déterminées par des équations d’un degré plus élevé. Prenons, par exemple, l’équation binôme

(z - a) (2 - a')... [i - a um - H" = o.

ou a, a',..., «j'"-0 désignent des quantités inégales, et H un polynôme entier qui n’est divisible par aucun des facteurs * — n, 2 — a',..., i — On pourra, dans la recherche des diverses valeurs de

u,dz, se dispenser d’avoir égard aux points /4 ,

A', A ", etc ,

correspondants aux valeurs de s qui annulent II; car, après une révolution de Z sur le contour élémentaire qui enveloppe un de ces points, chacune des fonctions w„ etc., reprend sa valeur initiale, et, de plus, les intégrales élémentaires relatives à un pareil contour sont toutes milles. Soient maintenant A, A', A',.,., A1"-" les points qui répondent respectivement aux valeurs a, a',..., a1"-11 de Z; il nous est permis de les supposer rangés dans un ordre tel , que le contour fermé qui a pour caractéristique

puisse se réduire, sans franchir aucun de ces points, à une circonférence ayant l’origine des coordonnées pour centre et le* renfermant tous.

Pour abréger l’écriture, nous ferons

AÏ— = p“~‘ ,

4t>8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d’où il suit, en appelant q, r, s des nombres entiers,

Nous observerons ensuite que les fonctions u, , um peuvent être

supposées rangées dans un ordre tel , que chacune d’elles acquière la valeur initiale de la suivante après une révolution de Z sur un quelconque des contours (-t- A), (-t-A'),..., [+A<",)]; cela revient à prendre

-ïïyirv -("-■Q.V'/r;

u, = e ” u, , u, = e m um — e m u,.

Mors aussi chacune de ces fonctions acquerra la valeur initiale de la précédente après une révolution de Z sur un des contours (— A), { — A'),..., [— A'"-"], et l’on aura par conséquent

(O IO U) (il (I) «> <i> (H

Enfin nous appellerons p,, p,,.

Xk /* k /% A

u,dz, J u,dz,..., J umdz.

e,„ les valeurs des intégrales prises le long d’un chemin déter-

miné CMR.

Cela posé, il s’agit d’obtenir les expressions générales des valeurs de l’intégrale J" u,dz prise le long d’un chemin quelconque CLK.

La caractéristique de ce chemin étant donnée, il sera aisé d’écrire la valeur de l’intégrale : à chaque terme [-t- A(f1] de la caractéristique répondra, dans l’expression de l’intégrale, un terme de la forme -t- A'»\ et, à chaque terme [— A(T)] de la caractéristique, un terme de

la forme — A^; au dernier terme CMR de la caractéristique répondra, dans l’intégrale, un terme tel que -+- vj. I>es indices f et j sont des nombres entiers et positifs qui se déterminent comme il suit : l’indice du premier tenue de l’intégrale est 1 , si ce terme est affecté du signe -t-, m , s’il est affecté du signe — ; si deux termes consécutifs ont le signe -4-, l’indice du second surpasse d’une unité celui du premier; si ces deux termes ont le signe — , c’est au contraire l’indice du premier qui sur-

passe d’une unité celui du second [*]; enfin, si deux termes consécutifs ont des signes contraires, leurs indices sont égaux.

Admettons, pour fixer les idées, que, dans la caractéristique du chemin CLK , le nombre des termes positifs surpasse celui des termes

négatifs ; il en sera de même dans l'expression de l’intégrale J u, dz.

Partageons cette expression à partir de la gauche en parties telles, que dans chacune d’elles le nombre des termes positifs surpasse de m unités celui des termes négatifs, sauf la dernière partie où la différence entre ces deux nombres peut être inferieure à m. La valeur d’une quelconque de ces parties, la dernière exceptée, pourra s’obtenir en ajoutant à la somme

un certain nombre de différences de la forme A1'* — A^.'1; comme d’ailleurs, en vertu de l’équation

u, -4- u, -t- ... ■+■ um = o,

on a

A, A, -t- ... -H Am = o,

la partie dont nous nous occupons se réduit à une somme de différences telles que A' — A^*1, et peut se représenter en conséquence par la formule

B=f»f>'1+...+iryr,

ï.p„+ r. pl + ... + UT"plm-",

ou les lettres ,etc., représentent des nombres entiers

positifs, nuis ou négatifs, et pouvant d’ailleurs avoir des valeurs quelconques. Les autres parties de l’expression de j' u, dz auront la

(*] Il «1 à peine nécessaire d'avertir que l’indice m augmenté d’une unité doit être remplace par i, et que l’indice i diminué d'une unilc doit cire remplacé par m.

même forme , sauf la dernière : quant à celle-ci , on voit aisément qu’à une quantité près de la forme c. elle aura toujours une des valeurs suivantes :

A, -t- As -f- A, -+- p,

A i H— A* ... — t— Am, -+- v„.

Par conséquent, toutes les valeurs que l’intégrale J" u, dz peut

acquérir, suivant que le point Z va de C en R par tel ou tel chemin , sont comprises dans les m formules

a -I- vt, rs -+- A, -t- v,, a -f- A, -+- Aa ■+■ v,.

A, -t- A, A*.., ■+■ vm.

On a supposé, il est vrai, que dans l’expression de l'intégrale relative au chemin CLK , le nombre des termes positifs surpassait celui <les termes négatifs ; si le contraire avait lieu , on ramènerait ce second cas au premier, en ajoutant à l’expression dont il s’agit une ou plusieurs fois la quantité A, -t- A, -H ... -t- Am dont la valeur est zéro, et l’on arriverait encore à la même conclusion.

On voit par là que les quantités p\ , plî~"t p,,..., /i"-'1 sont

autant de périodes de l’intégrale £ u,dz, et que toute autre période

de la même intégrale doit être composée de celles-là: de plus, toutes

les valeurs en nombre infini de J" u, dz peuvent s’obtenir en ajoutant

à m d’entre elles choisies convenablement des multiples entiers quelconques des périodes.

Considérons en particulier la période p, = A,- — Al = Aj •+• on voit qu’elle est égale à l’intégrale j' uti(z prise le long du contour

fermé (-t- A)(— A'), et comme, après une révolution de Z sur ce contour, la fonction «/ reprend sa valeur initiale, on en conclut que la période p, est indépendante de la position du point C, n° 11. Or, sans faire franchir au contour {+ A)(— A') aucun des points \, V, K", etc., on peut le faire coïncider avec un contour qui se compose de la ligne DT1D, Jig. aô, du contour fermé infiniment petit DFFT) parcouru dans le sens direct , de la ligne DTID’, et enfin du contour infiniment petit D'F'E'D' parcouru dans le sens inverse : la période p, peut

donc être regardée comme exprimant la valeur de l’intégrale j h, di

relative à ce nouveau contour. Mais le produit (s — a) ut se réduisant 4 zéro pour z — a. ainsi que le produit (s — «')«, pour z — a', on prouvera, comme au n°50, que les portions d’intégrale relatives aux contours infiniment petits DEFD, D'F'E'D' ont zéro pour limites, et l’on en conclura qu’on peut regarder p/, comme la limite de la somme des portions d’intégrale relatives aux chemins D'HD, DHiy : en d’antres termes, la période p, est la valeur de l’intégrale J“ (u, — «,+,) (h prise le long de la ligne A' HA.

Ce que nous venons de dire de la période p, peut s'appliquer 4 toutes les autres : ainsi chacune d’elles peut être regardée comme la valeur de l’une des intégrales j’ ( u , — u,)tlz, J'iu, — u,)dz....,

Ç i um — u,)dz, prise le long d'une ligne menée de l’un des points A', A',..., A'"-" au point A.

Les quantités p\, p p ST-" sont au nombre de m(n — i); niais il existe entre elles des relations faciles 4 obtenir. Comme on l’a déjà remarqué, on a

et , par suite.

A, + A, + ... + Am — o,

d'ou l’on conclut immédiatement

Pi Pt

f',*-,| + /il)wl+"'+ É-“" = °-

On voit que les n — i périodes pi.*-11 peuvent s’exprimer

chacune par la somme prise en signe contraire de m — i autres, ce qui réduit à (in — i) (n — i) le nombre des périodes distinctes.

Rappelons-nous maintenant ce qui a été démontré tout à l’heure, que les périodes

P i» Pit Ptf’t Psont respectivement égales aux intégrales f K - u,)riz, Ç{ut—ut)dz, J'(u, — u,)dz,...t

prises le long d’une même ligne menée du point A' au point A , et, d’un autre côté , ayons égard aux équations

-iüyCr, ily pi c-

h, = c m u„ u,=e m u,,..., um — e “ ;

nous en conclurons que les périodes

P i> Ptt Ptf-i P~ »

sont respectivement égales aux intégrales

prises le long d’une même ligne A'A; il en résulte sur-le-champ , , i*y cr, ,

Pt=e m Pu Pt- e m Pit-i P-= e m p\.

et l’on trouvera de même

— ilyMTf (W— l/.a»T

M^*~ * 1 — ti m ^ I ) — p w -j’.rt— I) «IH— U^p

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