Tome XV. — DicxMiu i85o

oti, ce qui est la meme chose,

Pi ■+■ P'i ■+ Pi + ■■•+ Pm~" = - anXy'-7!,

Pj + P\ + p»-t- — -t- PÎ ' = — mY.e m v-1’

Pt *" /'s ■+■ ■+•••• "+' ' = — airJ.e * V — 1 »

Pi + p’i + p’l -*-■■■+ Pm—l = — " V— '•

Os m équations se réduisent à m — i distinctes en vertu des relations déjà établies entre les périodes; car, en les ajoutant membre à membre, on arrive à l’identité o — o. Si, de plus, le coefficient >. est nul, on pourra de ces équations tirer m — i périodes exprimées chacune par la somme prise en signe contraire de plusieurs autres, et le nombre des périodes distinctes, qui était (m — t)(n — t), se trouvera réduit à (m — i)(n — a). Celte circonstance se présentera, en particulier, lorsque le degré du polynôme H sera inférieur au nombre entier — — i .

Il est aisé de voir quelles sont dans ces différents cas les périodes qu’on devra regarder comme distinctes. En effet, lorsque n ne sera pas un multiple de rn, ou lorsque n étant divisible par m, ). sera quelconque, on pourra, en vertu des équations

p‘-=~ P\ -Pt — P, ——,

Pi = —P't-P\-P\-—*

Pt= ~ Pi — P* — Pi —

etc.,

exclure les périodes p'„, p\ , p ", etc., et les (ni — i) (n — i) restantes seront généralement distinctes. Mais si, n étant divisible par m. Y. est nul . on aura entre ces périodes restantes les ni — i équations

Pl ■+■ Pî ■+■ p" -I- • • • -+- Pm-t — °?

Ps + Pï**' p"t + P» — °'

r 0 i* fn— I)

Pl+P* + p» + "--+- Pl — °’

Pm- 1 •+• pin -t" P* + ••••+■ P/n-l = °!

PURES ET APPLIQUEES. 475

d'où l’on tire

Pj=- P»~ lu- — - P- »

P»=-Pi — Pl—-—P ■ *

• • Pm—% »

ce qui permet d’exclure encore les périodes p, , p,»...» p. «• Ainsi, dans le cas général où le nombre des périodes distinctes est (/n — lV/J — •), on peut prendre pour ces périodes les quantités

Pt •

Pm— 1 y

Pi»’"*

Prn—i y

Pm,

pi»

Pl»‘" »

Pm—7 y

Pm,

PÏ*

PÏ.

Pu ■•<

Pm La*

Pm,

etc. ,

ou bien, en représentant par <u l’exponentielle e m ,

“Pi,

“Vï>— »

'*Pe

«VI

“Vl>—>

“ Pu

. .m-a n* u Pi>

Pi.

“VI

«"-•pi*

“”*~Vl*

PÎi

“ pV,

“Vï.— »

«—•pT.

«■'’pli

etc.

Lorsque le nombre n sera divisible par m et que le coefficient X sera nul, il suffira pour avoir les ( m — i)(n — 2) périodes distinctes, de supprimer la première ligne horizontale dans l’un ou l’autre des deux tableaux précédents. Ces périodes seront donc

'il //, ,

“VI

“VI.—

“""VI

“m'Vl.

pi.

“VI

“VI.---

“""VI

Pï«

“ PV.

«Vï

“"“Vï.

u Pi »

“"‘"Vï.

to"-* p

uc-*)p(«-ut MI

60. Pour dernière application, considérons l’équation du troisième degré

Appelons u,, u2, «a les trois fonctions déterminées par cette équation, qui, pour la valeur initiale z = o, se réduisent respectivement à o, -ht, — i. On a prouvé, n° 32, que la première et la deuxième deviennent égales lorsque le point Z, parti de l’origine O, arrive au point A qui répond i 2= + aPr^s avo'r suivi la droite OA, et

que la première et la troisième deviennent égales, lorsque le point Z, parti de l’origine , arrive par la droite OA' au point A' qui répond à z — — ; les points A et A' sont d’ailleurs les seuls pour lesquels

l’équation proposée puisse avoir des racines égales. Supposons, ce qui est permis, que les contours élémentaires (A) et (A') se confondent sensiblement avec les droites OA, OA'; nommons v„ , v, les valeurs des

Jn k /* k

' u,dz, I utdz, I a, dz prises le long d’un chemin dé-

terminé OMK, et proposons-nous de trouver toutes les valeurs que

l’intégrale Ç u, dz peut acquérir, suivant que le point Z va de O en K Jo

par tel ou tel chemin.

On a vu, n° 32, qu'après une révolution de Z sur le contour (A), les racines u , et u2 échangent leurs valeurs initiales, taudis que u, reprend la sienne : la fonction u, -h u7 reprend donc aussi sa valeur initiale. Par suite, les intégrales fu,dz, J («, -hu2)dz, prises le long du contour (-1- A), 11e changeront pas si l’on suppose que ce contour se réduise à une ligne fermée infiniment petite tracée autour du point A; comme, en ce point, les fonctions u, et u, -+- «, conservent des valeurs finies, on en conclut, n° 46,

On reconnaît aisément que les intégrales A, et A, sont composées d’éléments deux à deux égaux et de signes contraires; il en est de même des deux intégrales A„ A,, et aussi des deux intégrales A„ A,; ou a donc

Aj — A, — o , A, = — A j — A, = A, ;

PURES ET APPLIQUÉES, on trouvera pareillement

Ou conclut d'abord de ces égalités qu’on peut changer le signe d'un terme quelconque de la caractéristique sans altérer la valeur de l’intégrale cherchée : on pourra donc se dispenser de mettre ce signe en évidence. Observons que, sur le contour (A) (A), chacune des fonctions ut, u, reprend sa valeur initiale après une révolution de Z, et que les intégrales j u,dz , J u^dz, j'u^dz, prises le long de ce

contour, se réduisent à zéro en vertu des relations précédentes. Par conséquent, si dans la caractéristique du chemin quelconque OLK suivi par Z, on trouve les deux termes consécutifs (A) (A), il sera permis de les supprimer : le même raisonnement s applique aux deux termes consécutifs (A')(A'). On peut donc supposer que, dans la caractéristique du chemin OLK, deux termes consécutifs quelconques renferment toujours l’un la lettre A, l’autre la lettre A'.

Alors les trois premiers termes forment nécessairement un des deux groupes suivants :

or, après une révolution de Z sur le contour fermé que représente l’un ou l’autre de ces deux groupes, la fonction m, reprend sa valeur initiale, et d’ailleurs l’intégrale 1 u,dz prise le long de ce contour

est nulle. On peut donc, sans altérer l’intégrale / u, dz, supprimer

les trois premiers termes de la caractéristique du chemin OLK; par la même raison , on pourra supprimer les trois suivants, et ainsi de suite, jusqu'à ce que la caractéristique soit réduite à une de celles-ci,

-t-OMK, (A)-t-OMK, (A')-t-OMK, (A)(A') -4- OMK, (A')(A) + OMK , et les valeurs correspondantes de l’intégrale jf «, dz, seront

On voit donc que, quel que soit le chemin OLK, cette intégrale n’a que trois valeurs distinctes qu’on peut présenter sous la forme

car île ce que l'équation proposée n’est pas altérée par le changement simultané de « en — u et de z en — z, on conclut aisément la relation A', = A,. Le nombre des valeurs de l’intégrale J" u, dz étant

limité, il n’y a pas lieu, dans l’exemple qu'on vient de traiter, à en chercher les périodes.

En général, l’intégrale J" uiti n’aura qu’un nombre limité de valeurs, et, par suite, sera dépourvue de périodes, toutes les fois que l’équation entre « et z sera de la forme

f[u) désignant un polynôme entier en u et indépendant de z. En effet, si l’on pose

on aura d’où

dv = udz — nf'(u)du , v = J uf (u)du = F (u) ,

F (h) désignant un polynôme entier en u. Pour chaque valeur de s, le nombre des valeurs de e est donc égal à celui des valeurs de a, lequel est limité en vertu de l’équation algébrique

Je me propose, dans un autre article, d'appliquer à de nouvelles fonctions les principes établis dans celui-ci; mais je crois devoir, en terminant, signaler d’une manière précise les emprunts que j’ai faits aux travaux de M. Cauchy, et notamment aux remarquables Mémoires qui fout partie du tome XXIII des Comptes rendus (année 1846). On v ht à la page 700 une définition des fonctions continues, identique à celle que je donne au commencement du présent article; mais je ne crois pas que le savant géomètre ait énoncé les théorèmes des n°'6 et 7, théorèmes qui sont indispensables pour l’étude des fonctions ainsi définies.

('.’est à M. Cauchy qu’il appartient d’avoir expliqué la véritable idée

qu’on doit se faire d’une intégrale prise entre des limites imaginaires et de ses valeurs multiples: la proposition que je donne à cr sujet, n" {), a été démontrée par lui il y a déjà longtemps. (Voir le Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires .} Les théorèmes des n'” 10, i 1, 12, qui en sont des corollaires, reviennent à ceux qu’énonce M. Cauchy dans le tome déjà cité des Comptes rendus, pages a.f>3 et 6ga ; ils acquièrent seulement une signification plus précise lorsqu’on sait, par les théorèmes des n°* 6 et 7 et par ceux qui sont établis dans la seconde partie du présent Mémoire, dans quels cas la fonction qu’on intègre le long d’un contour reprend ou ne reprend pas sa valeur initiale après une révolution du point mobile. J’en déduis le développement en série de la fonction u par une méthode qui est due à M.* Cauchy et qu’il a plusieurs fois reproduite : lorsque j’ai démontré les propositions que je lui empruntais, c’est que je voulais les appliquer spécialement aux fonctions algébriques, et qu'alors les conditions sous lesquelles elles ont lieu comportent un énoncé plus net.

Dans la seconde partie, j’examine d’abord la manière dont les fonctions //,, etc., échangent leurs valeurs autour des points pour lesquels l’équation en n a des racines égales ou infinies, et j’établis a ce sujet, n°* 18-27, des propositions qui me paraissent nouvelles : la possibilité de partager ces fonctions en systèmes circulaires pouvait se déduire d’un théorème de M. Cauchy sur les substitutions [Journal de l’Ecole Polytechnique, tome X); mais la méthode que j’ai donnée permet d’effectuer réellement ce partage.

La réduction à un seul chemin et à une série de contours élémentaires de tous les chemins par lesquels on peut aller d'un point à un autre, la notation que j’adopte, et les conséquences que j’en lire relativement aux valeurs que la fonction acquiert par ces divers chemins, me paraissent n’avoir encore été données par personne.

Dans la troisième partie, qui contient les applications au calcul intégral , je commence par réduire une intégrale définie prise le long d’un chemin quelconque à une intégrale prise le long d’un seul chemin, plus une suite d’intégrales élémentaires. Le principe de cette réduction appartient à M. Cauchy, et le calcul indiqué à la page 788 du tome déjà cité des Comptes rendus revient à celui de mes intégrales

48o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

élémentaires. Mais la notation dont je me sers et l’emploi des propositions établies dans la seconde partie me permettent d'aller plus loin dans le cas où la fonction u dépend d'une équation du second degré, ou d’une équation binôme, et encore dans d’autres cas étendus que je traiterai plus tard : je parviens, en effet, n" 50 et 59, à des formules générales qui comprennent toutes les valeurs d’une intégrale définie prise entre deux limites données et ne comprennent que ces valeurs.

Ces formules sont nécessaires, à mon avis, pour faire connaître toutes les périodes et pour montrer qu’à une valeur quelconque d’une intégrale on peut ajouter des multiples entiers quelconques de toutes les périodes, sans cesser d’avoir une valeur de la même intégrale. Des indications données par M. Cauchy (page G98 du volume cité) on peut bien conclure l’existence d’un certain nombre de périodes, et dans un travail inédit l’illustre analyste retrouve de cette manière les périodes connues des fonctions elliptiques; mais, en suivant cette marche, on n’est pas assuré de les obtenir toutes, et l’on ne voit pas que chacune d’elles appartienne à toutes les valeurs de l’intégrale.

Je dois dire encore que les résultats auxquels je suis arrivé concordent avec ceux qu’a obtenus M. Hermite dans un travail dont l’extrait se trouve au tome XVIII des Compta rendus (séance du 17 juin 1844)- F’ar une heureuse généralisation de la marche qu’a suivie M. Jacobi pour les fonctions abéliennes, l’auteur obtient les expressions des périodes des fonctions inverses des intégrales de différentielles algébriques; mais, pour bien comprendre la signification de ces résultats, il me semble nécessaire de prendre pour point de départ la définition donnée par M. Cauchy des intégrales prises entre des limites imaginaires : c’est à ce point de vue seulement qu’on peut se rendre compte des valeurs multiples de ces intégrales [*].

[•] Je profilerai de celte occasion pour avertir d’une erreur typographique qui æ trouve à la page i42 du tome XIV de ce Journal : au lieu de cet mois, une démonstration à laquelle j'étais parvenu , il faut lire une démonstration plus simple que celle a laquelle j’étais parvenu.

NOTE

Sua