LA THÉORIE DES COURBES A DOUBLE COURBURE

Pa« m. voizot.

M. J. Bertrand, dans le § IV du Mémoire sur les courbes à double courbure, qu’il vient de publier dans ce Journal (septembre i85o), recherche quelles sont les surfaces réglées dont les génératrices sont les normales principales de deux courbes distinctes, et il arrive à la formule

p étant le rayon de courbure de l'une des deux courbes, dans son plan oscillateur;

R étant le rayon de la seconde courbure ;

a étant la distance qui sépare les points correspondants des deux courbes;

et C une constante arbitraire fournie par l’intégration.

Dans le § VI, M. Bertrand recherche, pour l’hypothèse de a constant, deux autres relations qui permettent d'exprimer les deux rayons de courbure de l’une des deux courbes en fonction de ceux de l’autre, et il est conduit à deux équations dont il déduit, pour le cas particulier de p, constant et égal à a,

(i) pt=z-a,

p, et R, étant les deux rayons de courbure de l’une des deux courbes, et p, et R, étant les rayons de courbure de l’autre courbe.