Tome XV- — Dichni i85o

48a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Or ces «leux relations sont contenues , la première explicitement , la seconde implicitement, dans un Mémoire sur les courbes à double courbure, que j’ai adressé à l’Académie des Sciences en mai 1847, et «pii est, depuis cette époque, entre les mains d’un membre de l'Institut. Voici comment j’ai obtenu la première.

Soit F une courbe plane. Si, par chacun de ses points, on élève des perpendiculaires au plan, ou obtiendra un cylindre droit qui, de même que la courbe F se rapporte à son cercle oscillateur, se rapportera au cylindre droit construit sur ce cercle. Ce cylindre circulaire droit sera donc oscillateur de la surface cylindrique qui a la courbe F pour directrice.

Si l'on considère une surface conique quelconque, on pourra, par la même raison , regarder comme surface osctilatrice de ce cône celle d’un cône circulaire droit ayant même centre.

Maintenant, deux éléments consécutifs de la surface des tangentes en un point quelœnque z ) d’une courbe à double courbure FF',

pouvant toujours être considérés comme appartenant à un cône circulaire droit «lont le centre est le point (x, y, z), je me suis proposé de rechercher l’angle au centre de ce cône et la position de son axe.

Si l’on porte, à partir du point (x,y, z), sur les deux tangentes consécutives se coupant à ce point, une longueur égale à l’unité; et si, aux poiuts ainsi déterminés, on mène deux parallèles à deux normales aux plans oscillateurs consécutives, ces deux droites se couperont dans un plan perpendiculaire à la génératrice de la surface des tangentes, et détermineront l’élément d’une section conique dont l’équation sera

y\ = mx, ■+■ hx] ,

c«’tte section étant rapportée à son sommet de gauche comme origine îles coordonnées x,,yt. Le rayon de courbure de cet élément, dont

la longueur égale - tn, sera dans un plan perpendiculaire au plan

oscillateur de la courbe FF', lequel plan passe par l’axe du cône cherché.

D’ailleurs l’équation d’une section «unique, pour un cône dont 1 angle au centre égale ji, et faite perpendiculairement à une généra -

en appelant dt l’angle de contingence et dl' l’angle conique de torsion, ou l'angle de deux plans oscillateurs consécutifs, /3 se rapportant à la nappe de la surface des tangentes qui rencontre le plan des xy Tandis que l’équation (4) fdt = ds,

où ds désigne la différentielle de l’arc, est l’équation de courbure circulaire, l’équation (3) est l’équation conique de la courbe FF'.

Le centre de cette dernière courbure se trouve évidemment sur l’axe du cône oscillateur, qui est le lieu des centres de courbure de tous les points de la génératrice correspondante. Et le lieu de tous ces axes est ainsi le lieu des centres de courbure de tous les points de la surface des tangentes.

L’axe du cône oscillateur est situé dans un plan perpendiculaire au plan osculateur, et du côté de la surface des tangentes par rapport au

plan osculateur. L'angle ^ /3, toujours aigu, sera positif quand la surface des tangentes sera intérieure k l’angle aigu formé par le plan osculateur au point (x,y, z) et le plan des xy\ il sera négatif dans

le cas contraire; dt' est de même signe que ^ jS.

L’angle de cet axe avec le rayon de courbure est droit.

Arrivons à la formule (i).

Soit F, K, l’aréte de rebroussement formée par les intersections des

plans normaux à la courbe FF'. Les tangentes de cette courbe sont toutes perpendiculaires aux plans osculateurs de la proposée et passent par le lieu de ses centres de courbure.

Considérons trois de ces tangentes consécutives, correspondantes au point (x ,jr, z) et aux trois points suivants. Les deux équations de courbure de cette arête seront

(5) p, dt' — ds',

(6) dt' = dt coG/5,

puisque l’angle de contingence dt de la courbe FF devient l’angle conique de la courbe F, F,, et que, réciproquement, l’angle conique dt' de la première devient l’angle de contingence de la seconde.

Les rayons de courbure p et p, sont dans le plan normal à la courbe FF. Ils sont parallèles comme perpendiculaires à la tangente de F, F,. De plus, il est facile de voir qu’ils sont dirigés en sens opposés.

L’axe du cône osculateur est ici dans un plan parallèle à celui de fi, puisque ces deux plans sont perpendiculaires à uu même plan normal

de la courbe FF', lequel est osculateur de F, F,. Son angle i (S' avec ce plan égalent; — ^ fi. Il est positif et négatif dans des circonstances analogues à celles qui déterminent le signe de ^ JS. dt, considéré comme angle conique, est de même signe que ^ fi'.

Soient (x, ,y(, z, ) le point de l’arête F, F, correspondant à celui (x, y, z) de la courbe FF', et m la distance de ce point au plan oscillateur de FF', ou la partie de la tangente de F, F, k ce point, interceptée par le plan osculateur; on aura

Si l’on amené en coïncidence ce point avec le centre de courbure correspondant de la courbe FF', en faisant glisser parallèlement à elle-même la courbe F, F, le long de sa tangente, on verra facile-

ment que, pour les deux cas de £-+- ^/3, dt ^ /s'Jt correspondants à

[■+• dt', ±«/p], les surfaces des tangentes des deux courbes seront intérieures à l’angle droit des deux plans oscillateurs tourné du côté

du plan des xy\ et que, pour les deux cas > corres-

pondants à [ — dt' , ± dp ], ces deux surfaces seront extérieures à cet angle.

Les mêmes circonstances se produisent dans l’angle droit opposé au sommet à celui considéré, à cause de l’opposition de sens des secondes nappes des deux courbes.

Dans les deux premiers cas, les axes des cônes oscillateur» sont parallèles et dirigés dans le même sens. Dans les deux derniers cas, ces axes sont parallèles et dirigés en sens contraires.

Donc, quelle que soit la valeur de m, les axes des cônes oscillateurs des courbes FF', F, F, sont parallèles.

Reprenons notre question.

On a, équation (7),

dm - ds' pdt'-J,'dH~ffJ',\

d’où

ds’ = rf'.' d'f ~ y‘f' + f ** = p,dt".

et enfin

dt' d' p — dp d* t' -4- p dt’1

relations où les inconnues de l’équation <51 se trouvent exprimées au moyen de p et de dt'.

Soit maintenant

les équations (7}. (8), (9) donneront

rn — o, ds' — adt’, p, — n-, les deux systèmes [(3), (4)]> [(5) , (6)| deviendront

| adt = ds , dt = dt' tang ^ (3 J • | adt' = ds' , dt' = dt cot ^ ,

p.l l'arète de rebroussement F, K, se confondra avec le lieu des centres de courbure de la courbe FF’. Les deux rayons de courbure se confondront aussi, et chacune des courbes FF et F, F, sera le lieu des centres de courbure de l’autre. C’est cette propriété qui m’a fait donner à ces courbes le nom de courbes conjuguées.

Deux courbes conjuguées sont les lieux des centres des spheres oscuiatrices l’une de l’autre. Elles sont perpendiculaires l’une sur l’autre, et à une distance constante égale à a.

Toutes les helices sont des courbes conjuguées avec les lieux respectifs de leurs centres de courbure. Les axes de leurs cônes oscillateurs, qui sont les génératrices des cylindres sur lesquels elles sont tracées, sont parallèles et dirigés dans le même sens.

Quant à l’équation (i), comine dans les formules de M. Bertrand, relatives au cas de

ou a

R, = o tang- fi ,

R, = acoG/3;

il en résulte

Je dois dire, pour rendre hommage à l.i vérité, que la partie de celte Note concernant les signes de l’angle 't fi est tirée d’une rédaction de mon Mémoire qui n'a pas été envoyée à l’Institut.

TABLES DES MATIERES