PROPOSITION X

TüéontïME.

Une Jonction d’un nombre pair n de lettres qui a moins de n valeurs ne peut en avoir plus de deux, si n est supérieur à 4-

Ce théorème n'a pas lieu pour les fonctions de quatre lettres; et c’est précisément parce qu’on peut former des fonctions de quatre lettres qui n’ont que trois valeurs, qu’on peut résoudre l’équation générale du quatrième degré.

Soit

une fonction d'un nombre n de lettres pair et supérieur à 4, et supposons que cette fonction ait moins de n valeurs.

Si l’on considère V comme fonction des n — i lettres

et qu’on permute ces lettres, on obtiendra un nombre de valeurs distinctes de V, qui, étant par hypothèse inférieur à n. sera l’un des suivants

Mais, d’après la proposition VIII, comme n — i est impair, ce nombre

PURES ET APPLIQUÉES. a3

de valeurs ne peut s’abaisser au-dessous de n — i, sans être égal à a ou à i ; donc le nombre des valeurs distinctes de V résultant des permutations des n — i lettres b , c, d,..., k, l est l’un des trois suivants

Examinons ces trois cas.

i°. La Jonction V est symétrique par rapport aux n — i lettres b* c, k) l.

Alors, elle a évidemment n valeurs, ce qui est contre l’hypothèse; à moins qu’elle ne soit symétrique par rapport à toutes les lettres, et , dans ce cas, elle n’a qu’une seule valeur.

a”. La Jonction V a deux valeurs par les permutations des n — i lettres b, c, d,..., k , I.

Alors, d’après la proposition V, la fonction V a a ou an valeurs.

3°. La fonction V a n — i valeurs par les permutations des n — i lettres b, c, d k, l.

Dans ce cas, comme n — i est impair, la fonction V est symétrique par rapport an — a lettres, d’après la proposion IX, et alors, d’apres 'la proposition IV, elle a au moins n valeurs.

Conclusion. Puisqu’on suppose que V a moins de n valeurs, et que cette fonction n’est pas symétrique, le second des trois cas précédents est seul possible, et alors la fonction V a deux valeurs seulement. Ce qu’il fallait démontrer.