PROPOSITION XI

THÉORÈME

Si une fonction d’un nombre n de lettres pair et supérieur n 6 a n valeurs, elle est symétrique par rapport à n — i lettres.

Soit

V = tp(a, b, c, d..... k, l)

«ne fonction de n lettres qui a précisément n valeurs. On suppose n pair et supérieur à 6.

Soient a et b deux lettres quelconques , et permutons les n — i autres lettres

le nombre des valeurs qu’on obtiendra ainsi pour V ne pouvant, d'après la proposition X , être à la fois plus grand que a et moindre que n — a (puisque, par hypothèse, n — a est > 4), sera l’un des cinq suivants

Nous allons faire ces cinq hypothèses.

i”. La Jonction V est symétrique par rapport aux n — a lettres

Alors, d'après la proposition IV, elle ne peut avoir n valeurs que si elle est symétrique par rapport à n — i lettres.

a®. La Jonction V a t/eux valeurs par les permutations des n — a lettres c, d,..., k, I.

Cela est impossible d’après le corollaire de la proposition V, car alors la fonction Y n’aurait, en tout, que deux valeurs, ou elle en aurait plus de n.

3". La Jbrwtion V a n — a valeurs par les permutations des n — a lettres c , d k , l

Alors la fonction V ayant en tout n valeurs, elle a une ou deux valeurs par les permutations de n — a lettres (proposition III), et, par conséquent, elle ne peut en avoir n en tout que si elle est symétrique par rapport à n — i lettres.

4". La Jonction V an — t valeurs par tes permutations des n — a lettres c, d,..., k , I.

Dans ce cas, d’après la proposition 111, V est symétrique par rapport k n — a lettres, et, par conséquent, elle ne peut avoir n valeurs que si elle est symétrique par rapport à n — t lettres.

'5°. La Jonction Van valeurs par les permutations des n — a lettres c, k, I.

PURES ET APPLIQUÉES. a5

Cela est impossible d’après la proposition Vil , car alors la fonction [x — tp(a, b,c, d,...,k, /)] [x — <p{b,a,c, d,...,k , /)]

aurait, par les permutations des n—i lettres c, d,..., k, l, un nombre de valeurs égal à ce qui ne peut être, puisque ” est < n — a , et > a .

Conclusion. Le premier, le troisième et le quatrième cas sont setds possibles, et l’on voit que la fonction V ne peut avoir n valeurs, que si elle est symétrique par rapport à n — i lettres.

Remarque. La démonstration ne s’applique pas aux fonctions de six lettres, pour lesquelles le théorème n’a pas lieu.