Tome XV. — Janyikr i85o

a G JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

i”. La Junction V est symétrique par rapport aux trois lettres

On aura toutes les valeurs <le la fonction V en formant les " " — —

combinaisons trois à trois des n lettres a, b , c, d,..., A , l, et permutant dans V les trois lettres a, b, c avec les trois lettres de chacune de ces combinaisons. Or je dis que toutes les valeurs de V ainsi formées sont différentes si n est >6. Il suffit, pour le prouver, d’établir l’impossibilité des égalités

q (a, A , c , tlj e, y, g , .

Cette impossibilité résulte de ce que les seconds membres sont symétriques par rapport aux lettres a et g , tandis que les premiers membres

ne le sont pas. La fonction V a donc — — valeurs.

On voit qu’il est nécessaire pour la démonstration que la fonction V renferme sept lettres au moins.

a“. La jonction V a deux valeurs par les pervuitations des tiois lettres a, b, c.

Si l’on pose

v = (n — b) {a — <■) (A — c) , la fonction V aura la forme

V = A -+• Be,

A et B étant des fonctions symétriques de a, b, c. En outre , comme V ou A + Be est une fonction symétrique des n — 3 lettres il,..., A, / et que cette fonction se change en A — Be par la transposition de deux des trois lettres a, b, c, on voit que A et B sont nécessairement des fonctions symétriques de À, /. On obtiendra toutes les valeurs de V en faisant les combinaisons trois à trois des n lettres a , A, c, d,..., A, /, et remplaçant dans la fonction

A ± Be,

les lettres a, b, c successivement par les lettres de chaque combinaison trois à trois. Le nombre des valeurs ainsi formées est a • — " - - , 1

ou - " — y--—-- 11 n’y a plus qu’à montrer que ces valeurs sont différentes.

Représentons simplement par

l'une ou l'autre des valéurs A ± Be; on prouvera, comme précédemment, que les égalités

tp{a, b,c,d, e,f,g,...,k, l) = <p(d, b, c, a, e, l),

?(«, b,c,d, e,J,g k, /) = ?(<■/, e, c , rt, b,f,g,...,k, I),

sont impossibles, parce que le second membre de chacune d’elles est symétrique par rapport à a et g, et que le premier ne l’est pas par hypothèse.

La fonction V a donc effectivement - : ' valeurs distinctes.

3°. La Jonction V a trois valeurs par les permutations des- lettres a, b , c.

Dans ce cas, elle est symétrique par rapport à deux des trois lettres a, b, c. Supposons que ce soient h et c. Il est évident qu’on obtiendra

toutes les valeurs de V en formant les — — combinaisons deux à

deux des n lettres a, b, c,..., A, /, écrivant ensuite devant chacune de ces combinaisons, successivement chacune des « — 1 lettres qui 11'v entrent pas, et permutant enfin les trois lettres a , b, c de la fonction V, avec les trois lettres qui composent chacun des arrangements ainsi formés.

Le nombre des valeurs de la fonction V est alors

4". La fonction V a six valeurs par les permutations des lettres rt, b , c.

Dans ce cas, la fonction V change par une permutation quelconque <les trois lettres a, b , c. On voit alors aisément qu’elle a autant de valeurs qu’on peut faire d’arrangements de n lettres trois à trois, c’està-dire n (n — i) (n — a).

La proposition est donc démontrée.