PROPOSITION XIII

LEHHB.

Si une fonction de n lettres, n étant > 5, a deux valeurs par les permutations de n — a lettres, le nombre total des valeurs quelle peut prendre par les permutations de toutes les lettres est a , a n , n (n — 1) ou a b (b — i)

Soit

V = y (b j b , c , d i * * • , 1, I) une fonction de n lettres qui n’a que deux valeurs

par les permutations des n — a lettres c, d,,.., k, l.

La fonction

' (r — V,) (jr — V,),

où x désigne une variable indéterminée, est symétrique par rapport aux n — a lettres c, d k , /, et si elle l’est aussi par rapport à toutes Ips lettres, la fonction V n’a que les deux seules valeurs V, et V,, d’après la proposition I.

Si la fonction

(x-V()(jc- V.)

n’est pas symétrique par rapport aux n lettres a, b,..., k , /, le nombre de ses valeurs sera, d’après la proposition IV, b, — — ou «(« — î).

Désignons-le par a , et soient

(*-vi)(*-v;),

O2- VJ) {x — V|),

(a; - Vf) {x - V$) ,

PURES ET APPLIQUÉES. aq

ces f jl valeurs elles-mêmes. Voilà <1. produits qui sont, par hypothèse, différents; je dis de plus que deux d’entre eux ne sauraient avoir un facteur commun. En effet, supposons, s’il est possible, que les deux premiers des produits ;'i) aient un facteur commun, que l’on ait, par exemple ,

(») v; = v; ou = vj.

Les deux fonctions VJ et VJ ont chacune deux valeurs par les permutations de n — a lettres, et comme on suppose n > 5, parmi les « — a lettres dont les permutations font acquérir deux valeurs à VJ, il y en a au moins deux qui font partie des n — a lettres dont les permutations font acquérir deux valeurs à VJ. Si l’on transpose les deux lettres dont nous parlons, les fonctions VJ et VJ, VJ et VJ se changeront l’une dans l’autre (introduction); par conséquent, l’égalité (a) conduit à celle-ci

VJ = VJ ou = VJ,

ce qui est impossible, car autrement les deux premiers des produits (1) seraient identiques, ce qui est contre l'hypothèse.

Maintenant le produit des fonctions (1) est une fonction symétrique des n lettres a, b, c, d,..., k, l; de plus, tous les facteurs linéaires de ce produit sont différents; donc, d’après la proposition I, la fonction V a les valeurs distinctes

dont le nombre iti est égal à a n ou à n (n — 1 , ou à a n (n — 1).

La proposition est donc démontrée.

Corollaire I. Si In fonction Vain valeurs, on a u. = n, et, pat conséquent (proposition IV), la fonction

déjà symétrique par rap/iort aux n — a lettres c, d,..., k, l, l'est par rapport à n — 1 lettres. Doue, d’après la proposition l , V, considérée comme fonction de ces n — 1 lettres , n'a que les deux valeurs V, et V,.

Corollaire IL Si une fonction de n lettres n’a que deux valeurs

par les permutations de n — 3 lettres, et quelle ait en tout plus de •su valeurs, elle en a aussi plus de • si n > 6.

Supposons que la fonction

V = f a, b,c , d,..., Js, /),

ait «leux valeurs par les permutations des n — 3 lettres d , e,..., k, I. D'après le lemme précédent, en considérant V comme fonction des n — i lettres b , c , d, e,..., k, l, le nombre de ses valeurs sera

a, a (n — i), (n — i)(n — a), ou a (n — i) (/» — a).

51 la fonction V n’a que deux valeurs par les permutations de b, c, d,..., k, I , elle en a a ou a n par les permutations de toutes les lettres (proposition V).

Si la fonction V a a (n — i) valeurs par les permutations de b, c, il...., k , /, plie n’a que deux valeurs par les permutations de n — a de ces « — i lettres, d’après le corollaire I qui précède, et, par conséquent, elle en a a ou an, ou n(n — i), ou m'n — i) par les permutations des n lettres.

Donc, puisqu’on suppose que la fonction V a plus de an valeurs, elle en a au moins (n — i) (n — a) , c’est-à-dire plus de — — - — , à cause de n > 6.

Remarque. Par un raisonnement tout semblable à celui qui nous a servi à démontrer le lemme qui précède , on pourrait déterminer exactement le nombre des valeurs d’une fonction de n lettres qui a deux valeurs par les permutations de n — 3 lettres. Mais, comme ce qui précède suffit pour l’objet que j’ai en vue, je n’entrerai pas dans de plus grands détails.