PROPOSITION XIV

LEMME

Le nombre des valeurs d’une Jonction de n lettres ne. peut être égal à n s- h si n est à la / ois plus grand que 6 et que A ~t~ 4-

PURES ET APPLIQUÉES. 3t

Soit

V ** f (a, b, c, cl,.... k, l)

une fonction de n lettres ayant « -+- h valeurs. .

Le nombre des valeurs que prend V par les permutations de n — 1 lettres ne peut être à la fois supérieur à a et moindre que « — a, puisqu'on suppose n — a > 4, ce sera donc l’un des h - 1- 5 suivants

Mais si la fonction V a, par les permutations de n — a lettres, un nombre de valeurs égal à l’un des suivants

il y a aussi n — a lettres dont les permutations lui font acquérir un nombre de valeurs égal ou inférieur à l’un de ceux-ci

d’après la proposition III, et comme h -t- a est < n — a, on voit que si la fonction V a n -t- h valeurs , il y a n — a lettres dont les permutations lui font acquérir un nombre de valeurs égal à l’un des trois suivants

Nous allons démontrer que ces trois cas sont impossibles.

i°. La Jonction V est symétrique par rapport à n — a lettres.

Alors, d’après la proposition IV, elle a n,"— — ou «(«— i'

valeurs.

Le premier cas est donc impossible, puisque, par hypothèse, le nombre n-\- h des valeurs de V est < an — !\.

a°. La Jonction V a deux valeurs par les permutations de n — a lettres.

Ce second cas est impossible, car, d'après la proposition XIII, le nombre des valeurs de V serait égal à a ou au moins égal à a n.

3°. La Jonction V prend ses n + h valeurs par les permutations de n — a lettres.

Va JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Ola est impossible, d’après la proposition VI, si n -y- h est un nombre impair. Je dis que cela est encore impossible si n -y- h est pair. En effet, si la fonction V prend toutes ses valeurs par les permutations des « — a lettres c, fi,..., k , /, elle ne peut être symétrique par rapport à a et b, d’aprcs la proposition VII, et la fonction

X = [x — if [a, b, c, d,..., k, /)] [x — 9 (A, a, c, d,..., k, /)],

a, par les permutations des « — a lettres c, d,... , k , l, un nombre de valeurs égal à Mais nous avons supposé < « — a et

n — a > 4, donc la fonction X ne peut avoir qu’une ou deux valeurs seulement par les permutations de c , d,..., k, l, et, par conséquent, la fonction V n’aurait que deux ou quatre valeurs, ce qui est contre la supposition.

La proposition énoncée est donc démontrée.