PROPOSITION XV

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Le nombre des valeurs d'une fonction d’un nombre n de lettres supérieur à G ne peut être ni n -t- i, ni n H- a, ni n ■+• 3.

En faisant successivement A t et h = a dans l’énoncé du lctnine qui précède, on voit immédiatement que le nombre des valeurs d’une fonction d’un nombre n de lettres supérieur à 6 ne peut être n -+- t ni n -t- i.

En faisant h = 3, on voit pareillement que le nombre des valeurs d’une fonction d’un nombre n de lettres supérieur à 7 ne peut être égal à n + 3. Il suffit donc, pour achever la démonstration du théoreine énoncé, de prouver que ce dernier résultat a lieu encore quand n = 7 , c’est-à-dire que

Une Jonction de sept lettres ne peut pas avoir un nombre de valeurs égal à dix.

Soit

une fonction de sept lettres, et supposons qu'elle ait dix valeurs.

Le nombre des valeurs de la fonction V, par les permutations de cinq lettres, devant diviser le produit l. a. 3. 4-5, et ne pouvant être ni 3 ni 4i sera l’un des nombres suivants

i, a, 5, 6, 8, io.

Mais si le nombre des valeurs de V, par les permutations île cinq lettres, est 6 ou 8, il y aura cinq lettres dont les permutations feront acquérir à la fonction un nombre de valeurs égal ou inférieur à 4 ou à a; il y a donc nécessairement cinq lettres dont les permutations feront acquérir à la fonction V un nombre de valeurs égal à l’un des quatre suivants

i . a , ï, io.

Examinons ces quatre cas.

i °. La Jonction V est sj- métrique par rapport à cinq lettres.

Alors elle a, d’apres la proposition IV, 7, ai ou lys valeurs, ce qui est contre l'hypothese.

l.a Jonction V a rletia • valeurs par les permutations de cinq lettres.

Alors, si elle a plus de deux valeurs, elle en a au moins 1 f, d’apres la proposition XIII, ce qui est contre l’hypothèse.

3". L.a Jonction V a cinq valeurs par les permutations de cinq lettres.

Alors elle est symétrique par rap|K>rt à quatre lettres. Si elle est symétrique par rapport à cinq lettres, elle a 7. at ou 4a valeurs (proposition IV), .sinon elle en a 3?», 70, io5oii a 1 o ( proposition XII), ce qui est contre l’hypothese.

4°. La Jonction V prend ses dix valeurs par les permutations de cinq lettres.

Soient c, il, e, /, g ces cinq lettres, la fonction X = [r — ?(a, A,c, </, e,J. g\] [.r - a (b, a, c, d,

Tomr \\ —Jamier i85o. r

aura cinq valeurs par les permutations des cinq-lettres c, d,e ,J, g, donc elle est symétrique par rapport à quatre de ces lettres. L’équation

ayant pour coefficients des fonctions symétriques de quatre lettres, d, e,J,g par exemple, ses deux racines seront les deux seules valeurs que peut prendre V par les permutations de ces quatre lettres. Ainsi la fonction V n’a qu’unc ou deux valeurs par les permutations de quatre lettres. Or la fonction V ne peut être symétrique par rapport aux quatre lettres d, c, J, g, car elle n’aurait qu’une ou cinq valeurs par les permutations des cinq lettres c , d, c,f, g, tandis que nous avons supposé qu’elle en a dix. La fonction V ne |>eut pas non plus avoir deux valeurs par les permutations des quatre lettres d, e,J, g; car, d’apres la proposition XIII, elle en aurait deux seulement ou au moins douze par les permutations de six lettres, ce qui est contre l'hypothèse.

H est donc démontré qu'une fonction de sept lettres ne peut avoir dix valeurs.