INTRODUCTION

I.es géomètres qui se sont occupés de la théorie des équations algébriques, ont été conduits naturellement à étudier diverses questions relatives au nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme.

I,agrange est le premier qui soit entré dans cette voie, en démontrant que le nombre des valeurs d’une Jonction de. n lettres est toujours un diviseur du produit i . a . 3 . , . n [ * ].

Plus tard, RufTini considéra particulièrement les fonctions de cinq lettres, et démontra, dans sa Théorie des Equations , qu’une fonction de cinq lettres qui a moins de cinq valeurs ne peut en avoir plus de deux.

Ce théorème fut étendu ensuite aux fonctions d’un nombre quel-

[ * J Ménanrcs de l'Académie de Berlin, années 1770 et 1771.

Tom** XV — Jaktim 18^0. f

a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

conque de lettres, par Pietro Abatti, compatriote de Ruffini, qui démontra [*] qu’une Jonction d’un nombre quelconque de. lettres ne peut avoir moins de cinq valeurs, si elle en a plus de deux.

Tel était l’état de la question lorsque M. Cauchy vint à s’en occuper. Ce géomètre, prenant pour point de départ les travaux de Ruffini et d' Abatti, publia dans le tome X du Journal île l'Ecole Polytechnique un Mémoire très-remarquable [**] où se trouve démontré ce beau théorème qui comprend ceux de Ruffini et d’Abatti :

Une Jonction de n lettres qui a plus de deux valeurs en a au moins un nombre égal au plus grant! nombre premier contenu dans n.

On conclut delà, si n est premier, que

Une Jonction de n lettres qui a plus de deux valeurs en a au moins n.

M. Cauchy donne à penser qu’il chercha à étendre ce dernier théorème au cas des fonctions d’un nombre quelconque de lettres, mais il ne put y parvenir que pour les fonctions de six lettres. Il a, en effet, démontré dans son Mémoire, que

Si une Jonction de six lettres a plus de deux valeurs, elle en a au moins six.

Enfin, M. Bertrand présenta, il y a trois ans, à l’Académie, un Mémoire qui fait aujourd’hui partie du xxx' cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, et où il se proposait, comme objet principal, de démontrer généralement que

Si une fonction de n lettres a plus de deux valeurs, elle en a au moins n.

On sait que M. Bertrand est parvenu à établir ce théorème en faisant usage du postulatum suivant :

Si n est > 7 , il y a au moins un nombre premier compris

entre -et n — a .

Iæs Tables de nombres premiers ont permis de vérifier l’exactitude

[*] Mémoires de la Société Italienne , tome X.

[**] Voyez aussi mon Cours d' Algèbre supérieure, page 248.

île ce postulatnm pour les valeurs de n comprises entre 7 et 6000000, en sorte que le théorème de M. Bertrand se trouve démontré par lui pour les fonctions qui ont moins de 6 000000 de variables.

M. Bertrand a aussi démontré dans son Mémoire que, n étant > 9,

Si une Jonction de n lettres a plus île n valeurs, elle en a au moins a n.

Tels sont les principaux faits acquis jusqu'à ce jour à cette théorie. I>e Mémoire que j'ai l’honneur de présenter à l’Académie se compose de deux parties. Hans la première, je démontre, sans avoir recours à aucun postulatum: 1" qu’une fonction de n lettres qui a moins de n valeurs, n en a que deux au plus, si n est > 4; 2“ qu’une fonction de n lettres qui a précisément n valeurs est symétrique par rapport à « — r lettres, à moins que n 11e soit égal à 6. Dans la seconde partie, je démontre : 1” qu’une fonction de n lettres qui a plus de n valeurs, en a au moins an, si n est >8; a° qu’une fonction de n lettres qui

a plus de an Valeurs, en a au moins - - si n est > 1».

Ainsi, a part les cas d’exception que je signale, le nombre des

valeurs que peut avoir une fonction de n lettres est 1, a, n, an

on — — , ou un nombre supérieur.

La méthode dont je fais usage diffère essentiellement de celles qu'on a employées jusqu’ici. Je n’emprunte aux travaux antérieurs que les résultats relatifs à la forme des fonctions qui n’ont que deux valeurs. Je crois nécessaire de les rappeler dans cette introduction pour faciliter l’intelligence de ce qui va suivre.

Lkmme I. Si

est une Jonction de n lettres qui prend p. valeurs distinctes V V V

quand on y permute les lettres n, b, etc., toute Jonction symétrique de V,, V.j,..., V., est également une Jonction symétrique des lettres a , b j c , d À*, /.

Celle proposition est presque évidente. ( Voyez mon Cours d A Igébte supérieure, deuxième Leçon.)

Lemme II. Si une fonction d'un nombre quelconque de lettres n’a que deux valeurs distinctes , elle change nécessairement de valeur par la transposition de deux lettres quelconques.

Soit

V = ç(rt, b, c, d,..., k, l)

une fonction d'un nombre quelconque de lettres qui n’a que deux valeurs. Prenons trois lettres quelconques a, b, c, et faisons les trois arrangements

Il en résultera ces trois valeurs de la fonction V :

Mais comriie, par hypothèse, la fonction V n'a que deux valeurs distinctes, parmi les trois qu’on vient d’écrire, il y en a au moins

deux qui sont égales entre elles. Or je dis qu’elles sont égales toutes

trois.

Supposons, en effet, qu’on ait (t) tf(a,b,c,...) = <f{b,c,a,...)i

comme cette égalité doit avoir lieu identiquement, on peut y remplacer les lettres a, b, c, respectivement par b, c, a-, il vient alors

et l’on voit que les trois valeurs de V que nous considérons sont égales entre elles.

Si, au lieu d’admettre légalité (i), on admet l’égalité (a), en y remplaçant a, b, c, respectivement par b, c, a, il vient

(3) <t{c,a,b,...) = y[a,byC,...),

ce qui montre que les trois valeurs de V sont égales entre elles.

Enfin la même chose a lieu si l’on admet l’égalité (3), car en y échangeant a, b, c , respectivement en b, c, a , on retombe sur l’égalité (i).

Il résulte de là que la fonction V n’est pas changée quand on remplace les trois lettres a, b, c, respectivement par b , c , a.

Nous représenterons, pour abréger, par la notation (fl, b) la transposition des lettres a et b, c’est-à-dire l’opération qui a pour but <le changer ces deux lettres l’une avec l’autre. D’après ce qui précède, la fonction V ne change pas, si on lui applique successivement les deux transpositions (fl, b), (a, c ), car l’effet de ces deux transpositions revient au changement de a, A, c en b, c, a.

Supposons que la transposition (a, b) change V en V, (V, pouvant être égal à V), la transposition (a, c) devra changer V, en V, et, par conséquent, V en V, ; car faire deux fois de suite une même transposition , c’est ne faire aucun changement. Donc deux transpositions (n, b), {a, c) qui ont une lettre commune produisent sur la fonction V le même changement. 11 en est de même des transpositions (a , c), (c, d) qui ont la lettre c commune, et, par suite aussi, des deux transpositions (a, b), (c, d) qui n’ont aucune lettre commune. Mais la fonction V n’étant pas symétrique par hypothèse, il y a au moins une transposition qui change sa valeur; donc toutes les transpositions devront la changer en vertu de ce qui précède.

Forma générale des Jonctions qui n'ont que deux valeurs.

On peut, quel que soit n, former des fonctions de n lettres qui n’aient que deux valeurs distinctes.

Soient , en effet , « lettres ,

et désignons par v le produit de toutes les différences obtenues, en retranchant de chacune de ces lettres successivement chacune des suivantes, en sorte qu’on ait

I*e carré de v est évidemment une fonction symétrique, et, par suite,

v ne peut avoir que deux valeurs égales et de signes contraires. De plus, ces deux valeurs existent effectivement, car il est évident que p se change en — p par la transposition des lettres a et b.

Soient maintenant A et R deux fonctions symétriques des n lettres o, b , c, d,..., k , l. La fonction

A 4- Be,

plus générale que e, n’a évidemment que les deux valeurs distinctes A 4- Bp et A — Bp. Or je dis que toute fonction de n lettres qui n’a que deux valeurs, a la forme A 4- Bp.

Soit, en effet, V une fonction de n lettres n, b, c, d,..., k, l qui n’a que deux valeurs distinctes, et désignons par V, et V, ces deux valeurs. Il est évident que la fonction V,p n’a aussi que deux valeurs, car, d’après le femme II, toute transposition change V, en V,, V3 en V, , et p en — e; d’où il suit que la fonction V, p n'a que ces deux valeurs

V, p et — V2p.

Donc, d’après le femme I, si l’on fait

A et B seront des fond ions symétriques. Des équations précédentes on tire

or - et — étant des fonctions symétriques, on peut écrire plus simplement

V, = A 4- Bp,

A et B désignant des fonctions symétriques, et p la valeur écrite plus haut.

La proposition que nous avions en vue est ainsi démontrée.