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.Si une Jonction d'un nombre n de let ties supérieur à 8 , prend toutes ses valeurs par les seules permutations de n — 2 lettres, et si elle a plus de deux valeurs, elle en a au moins an -t- l\.

Supposons que la fonction

prenne toutes ses valeurs par les seules permutations des n — a lettres c, d...., k, l.

On a vu (propositions VI et VII) que la fonction V 11e peut être symétrique par rapport aux lettres a et b, et que le nombre de ses

PURES ET APPLIQUÉES. 3r>

valeurs est pair. En outre, en désignant ce nombre par a ft, la fonction

X = [je — ç(«, A, c, d k, /)] [,r — ç A, a, c, fl,..., k, /)|

a un nombre de valeurs égal à u. par les permutations des n — a lettres c. d,.... k, I.

Cela étant, si le 'nombre .a est inférieur ;t n — a, d doit être égal à 1 ou à a; dans le premier cas, la fonction V n’a que deux valeurs. Le second cas est impossible, car la fonction V' qui contient plus de finit lettres aurait un nombre de valeurs égal à quatre.

Je dis, en second lieu, que le nombre a ne peut être égal à n — a; en effet, si cela était, la fonction X serait symétrique par rapport à n — 3 lettres, à cause de « — a > fi, et alors, d’après la proposition III' la fonction V aurait un nombre de valeurs égal, à 1 ou à a par les permutations de n — 3 lettres,

par exemple. Si la (onction V est symétrique par rapport aux n — ( lettres d,..., k , /, elle a n — a valeurs par les permutations des « — < lettres c, d,..., k , /; on a donc au — n — a , ce qui est en contradiction avec notre hypothèse par laquelle u = n — a. |^a fonction V a donc deux valeurs par les permutations des n — 3 lettres k , /; mais alors, d’après la proposition XIII, la fonction V considérée comme fonction des n — 1 lettres

aurait deux valeurs seulement, ou elle en aurait au moins ut// — 1 ; ce qui est contraire à l’hypothese.

Enlin, le nombre u ne peut être égal 111 .1 u — 1 , ni <1 11 , ni à n -h 1 . d’après la proposition XV'. donc il est au moins égal à n -1- a , et, par conséquent, le nombre iu. des valeurs de V' est au moins égal à > n 4- 4> s’il est supérieur a a. C’est ce qu’il fallait démontrer.