PROPOSITION XVII

Tll ÉOnf'ME.

i Si une fonction d’un nombre n de lettres supérieur à 8 n plus de n valeurs, elle en n au moins in;

a*. Si une Jonction d’un nombre n de, lettres supérieur à 8 a a n valeurs, il y a n — i lettres dont les permutations ne font acquérir à la Jonction i/ue deux valeurs.

Soil

une fonction de n lettres, et supposons que cette fonction ait plus de n valeurs, mais n’en ait pas plus de a n.

D’api 'es la proposition précédente , la fonction Y ne pourra prendre toutes sps valeurs par les permutations des n — a lettres c, d,. ., k, l.

Désignons par p. le nombre de valeurs qu’elle prend par les permutations de ces n — a lettres, et par p + v le nombre total de ses valeurs. D’après la proposition III, il y a n — a lettres dont les permutations font acquérir à la fonction V un nombre de valeurs égal ou inférieur à v : d’ailleurs la somme p -+- v n’est pas supérieure à an, par conséquent , des deux nombres p et v, l'un au moins est inférieur ou au plus égal à n.

Donc parmi les n lettres de la fonction V, il v en a n — a dont les permutations font acquérir à cette fonction un nombre de valeurs au plus égal k n, et meme au plus égal à n — a , puisque, d’après la proposition XIV, une fonction de n — a lettres, si n est > 8, ne peut avoir « — i ni « valeurs, l’ar les permutations des n — a lettres dont il s’agit, la fonction V a donc

■ , a , ou n — a valeurs. Examinons ces trois cas.

t“. Lu Jonction V est symétrique par rapport à n — a lettres.

Alors, d’apres la proposition IV, si V a plus de n valeurs, cette

fonction en a au moins — -•

a°. La Jonction V n deux valeurs par les permutations rie n — 1 lettres.

Alors, d’après la proposition XIII, cette fonction, si elle a plus île deux valeurs, en a an moins an.

3°. Ia 1 fonction X a n — a valeurs par les permutations de n — a lettres.

Dans ce cas, la fonction V est symétrique par rapport à n — 3 lettres. Si elle n’est pas symétrique par rapport à n — 2 lettres, elle a au

moins ~-j — - valeurs, d’apres la proposition XII Si elle est symétrique par rapport à n — a lettres, et qu’elle ait plus de n valeurs, elle en a au moins " n - -— > d’après la proposition IV,

Conclusion. Dans aucun des trois cas qu’on vient d’examiner, la fonction V n’a en même temps plus de n et moins de a n valeurs. Dans le second cas seulement elle peut avoir 2/1 valeurs, alors elle n'a que deux valeurs par les permutations de n — 1 lettres corollaire I . proposition XIII). La proposition est donc démontrée.