PROPOSITION XVIII

TiléOBKME.

Le nombre des valeurs d’une Jonction de n lettres ne peut être égal ni à in -+- 1 , ni à an ■+■ a , ni à an -+- 3, si n > 8.

Soit

une fonction de n lettres, n étant > 8 , et supposons que le nombre des valeurs de cette fonction , que je représenterai par u 4- v, soit égal à l’un des trois nombres

in + 1, jn + a, 2 « -+- 3.

D’après la proposition XVI, le nombre des valeurs que prendra V par les permutations de « — a lettres, c, fi...., k, l par exemple, doit être inférieur à p -t- y ; je le représenterai par p, et alors, d’après la proposition III , il y aura n — a des n lettres a, b, c . d,..., k , /, dont les permutations feront acquérir à V un nombre p' de valeurs égal ou inférieur à v. Comme la somme p + v est au plus égale à i n + 3, l’un des nombres p et p' est nécessairement inférieur ou égal à « ■+■ i. donc il y n n — a lettres dont les permutations font acquérir à la fonction un nombre de valeurs égal ou inférieur à n 4- i ; ce nombre de valeurs sera, par conséquent, l’un des suivants

Mais n — a étant > (>, la fonction V ne peut avoir ni n — i, ni n. ni n -T- 1 valeurs par les permutations de n — a lettres (proposition XV). donc la fonction V a

i , a, ou n — a

valeurs par les permutations de n — a lettres prises parmi les n il, b. c, r/ , k , /.

On va voir que cela est impossible.

i". La Jonction V est symétrique / iar rapport il n — a lettres.

Dans ce cas, elle a n valeurs ou au moins — (proposition IV . c'est-à-dire plus de a n ■+• 3, si n est > 8; ce qui est contre l'hypothèse.

-/*. La Jonction V n deux valeurs par les permutations de n — a lettres.

tlors elle ne [Hint en avoir plus de m sans en avoir au moins u (tt — i) (proposition XIII), ce qui est contre l’hypothèse.

3”. La fonction V a n — u valeurs par les permutations de n — * lettres.

Elle est alors symétrique par rapport a n — 3 lettres, et si elle a plus de n valeurs, elle en a au moins " ' (propositions IV et XII), ce

qui est contre l'hypothèse.

La proposition est donc démontrée.

PURES ET APPLIQUEES.