IF.M.V1R

Si une Jonction d'un nombre n de lettres supérieur h 10 a plus de ileux valeurs, et (ju'elle prenne, toutes ses valeurs par les permutations de n — h lettres, elle a au moins 4 n valeurs distinctes.

Soit

lino fonction de n lettres avant plus de deux valeurs, et qui peut prendre toutes ses valeurs par les seules permutations des n — ■> lettres

Désignons par au. le nombre de ces valeurs qu’on sait être pair, et considérons, connue «laits la proposition XVI, la fonction

qui prend u valeurs distinctes par les permutations «les n — •> lettres c, d,..., k, l. On a vu, dans la proposition XVI, «pie u est au moins égal à n -t- a si n est > 8; nous allons montrer actuellement que u est au moins égal k in si n est > to.

En premier lieu, le nombre u «les valeurs que [trend X par les permutations de n — 2 lettres étant supérieur à // — a est au moins égal km — 4 (proposition XVII).

En second lieu, je dis qu’ou ne peut avoir p = -m —4- Supposons, en effet, que ix soit égal km — 4> alors, d’après la proposition \ \ Il . la fonction X aura précisément «leux valeurs par les permutations de n — 3 îles n — a lettres c , «/,..., k, l. Soient X, et X, cés deux valeurs; la fonction X , X, sera symétrique par rapport à «—3 lettres, et, par conséquent, d’après la proposition I, la fonction V, qui est une des racines de l’équation du quatrième degré

aura au plus quatre valeurs par les permutations des n — 3 lettres d,...,

k, /; d'ailleurs ce nombre de valeurs ne pouvant être ni 3 ni 4 , est nécessairement 1 ou a; donc la fonction V a n — a ou a (n — a) valeurs par les permutations des n — a lettres c , il,..., k, /, car on suppose qu’elle en a plus de deux. On a donc a jx = n — a ou = a (n — a), ce qui est contre l’hypothèse.

Enfin, d’apres la proposition XVIII , le nombre p. ne peut être égal ni à mi — 3 , ni à a n — a , ni à an — 1 , puisqu’on an — a> 8 ; donc jx est au moins égal à an, et , par conséquent, la (onction V a au moins 4 n valeurs.