PROPOSITION XX

THÉORÈME

Si une Jonction if un nombre n rie lettres supérieur a 10 cl plus île a n valeurs, elle en a au moins 4 n.

Soit

une fonction de n lettres, ayant plus de an valeurs, n étant > 10.

Soient a et l> deux lettres quelconques, et permutons les n — a autres

Si. par ces permutations, la fonction V prend toutes ses valeurs , elle a au moins 4n valeurs, d’après la proposition précédente, et le théorème est démontré. Supposons donc que la fonction V ne puisse pas prendre toutes ses valeurs par les permutations des n — a lettres c, (I. . . , k, I. Appelons tx le nombre des valeurs de Y résultant des permutations de ces n — a lettres, et p-hv le nombre total de ses valeurs; rappelons enfin qu’il y a n — a lettres dont les permutations font acquérir à V un nombre [x‘ de valeurs égal ou inférieur à v.

Supposons <f abord que l’un des nombres tx et jx1 ne surpasse pas 11 — a, il sera alors égal a l’un des trois nombres

Dans le premier cas, la fonction V étant supposée avoir pins de a n

PURES ET APPLIQUÉES. 4i

valeurs, en aura au moins — — » c’est-à-dire plus de !\n à cause de

n > jo.

Dans le second cas, la fonction V a au moins n(n — i) valeurs; et enfin, dans le troisième, comme elle est symétrique par rapport à

« — 3 lettres, elle a au moins — — valeurs [*].

Supposons maintenant que chacun des nombres fx et il' surpasse n — a. Alors n — a étant > 8, ces deux nombres seront au moins égaux à a (n — - a) (proposition XVII).

Si l’un des nombres ix et il’ est égal à a (« — a), la fonction V a deux valeurs par les permutations de n — 3 lettres, d’après la proposition XVII, et, par conséquent, comme elle a plus de an valeurs, elle

en a aussi plus de — - (proposition XIII, corollaire II) et, à for-

tiori , plus de 4 si-

Enfin, d’après la proposition XVIII, aucun des nombres p. et il' ne peut être égal à an — 3, ni à a n — a, ni à an — i ; si donc [l et f l’ surpassent a(n — a), chacun d'eux est au moins égal à an, et, par conséquent, leur somme [i ■+ fx\ et, à fortiori, la somme fx-+-v, qui représente le nombre des valeurs de V, est au moins égale à 4n.

Donc, dans tous les cas, la fonction V a au moins [\n valeurs, si elle en a plus de an.