PROPOSITION XXI

théorème.

Une Jonction de n lettres qui a plus de a n valeurs, en a au

moins " " si n est égal à i 3 ou à i4 a

Soit

une fonction de n lettres ayant plus de an valeurs (on suppose n = 1 3

[*} Ce raisonnement est le même que celui de la proposition XVII Tome XV. — J a jixim iS4»»)

4a ' JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

on 1 4), et permutons les n — a lettres

Nous distinguerons deux cas, suivant que la fonction V prend ou ne prend pas toutes ses valeurs par les permutations des n — i lettres c, k, /.

i‘\ Supposons d'abord que la (onction V prenne toutes ses valeurs pat les permutations des n — a lettres c, d,..., X, l, et désignons par ap ce nombre tie valeurs qui sera au moins égal à i\n, d’après la proposition XIX.. Nous avons déjà vu que la fonction

X = [,r - b, c , H,..., k, /)] [jr — <p (b, n, c, fi,..., k, /))

a p valeurs par les permutations des n — a lettres c , <{,..., k, l, et, comme on a p > a (« — a) , p sera au moins égal à 4 (« — a) ; en vertu de la proposition précédente, par conséquent, le nombre ap des valeurs de la fonction V sera au moins égal à 8 (n — a'j et, par suite,

supérieur à car on suppose n = i3 ou t4- Le théorème est

donc démontré dans ce cas.

a". Supposons que la (onction V ail p -t- v valeurs et qu'elle ne prenne que p valeurs distinctes par les permutations de c , d,..., k , /, soit aussi p' le nombre égal ou inférieur à v qui , d’après la proposition 111, représente le nombre des valeurs que prend la fonction V par les permutations de n — a lettres.

Par un raisonnement identique à celui du théorème précédent, on fera voir que si l’un des nombres p et p' ne surpasse pas a (n — a),

la fonction V a au moins — — - valeurs. Supposons donc p et p' supérieurs à a (n — a); alors n — a étant égal à 1 1 ou à ta, la fonction V, qui a plus de a (n — a) valeurs par les permutations de n — a lettres, en aura au moins 4(«— a). Par conséquent, chacun des nombres p et p' est au moins égal à t\(n — a), et , par suite, la fonction V a au moins 8(« — a) valeurs, c’est-à-dire plus de ,

comme dans le premier cas.

La proposition est donc démontrée.