PROPOSITION XXII

THÉORÈME

Si une Jonction d’un nombre, quelconque n de lettres supérieur a i j n plus de 'in valeurs, elle en a au moins ■ *'■

Je vais démontrer que si le tliéoréme a lieu pour les fonctions de « — a lettres, il a lieu aussi pour les fonctions de n lettres, et, comme on vient de l’établir pour les fonctions de i3 et <4 lettres, il le sera généralement.

Soit

une fonction de n lettres, « étant > 1 4* et permutons les n — a lettres

Comme dans le théorème précédent, je distinguerai deux cas, suivant que la fonction prend ou ne prend pas toutes ses valeurs par les permutations de ces n — a lettres.

i°. Supposons que la fonction V prenne toutes ses valeurs par les seides permutations des n — a lettres c, il,..., k,l, et considérons la fonction

X = fx — 9 (a, b, c, il,..., k, /)][* — ? (b, a , r, d,..., k, /)|;

si fi désigne le nombre des valeurs que prend la fonction X par les permutations des n — a lettres c , d,..., k, l, V aura a p valeurs, et comme on suppose au > an, ce nombre sera au moins égal à d’après la proposition XIX, et, par conséquent , la fonction X aura au moins a n valeurs, c’est-à-dire plus de a (n — a) paT les permutations des n — a lettres c, d,..., k , l; donc, puisque la proposition énoncée est supposée vraie pour les fonctions de n — a lettres, la

fonction X aura au moins — — —IL — - valeurs par les permutations

de c, k, l, et, par suite, la fonction V aura au moins

(« — a) (n — 3) valeurs, c’est-à-dire plus de — — — « car on suppose n > 14. I je théorème est donc démontré dans ce cas.

a®. Supposons que la fonction V ait p H- v valeurs, et qu’elle ne prenne que p valeurs par les permutations des n — a lettres c , k, l.

Soit p' le nombre, égal ou inferieur à v, des valeurs que prend V par les permutations de n — a lettres.

Comme dans les deux propositions précédentes où j’ai employé le même raisonnement, on fera voir que si l’un des nombres pet p' ne

surpasse pas a (11 — a), la fonction V ne peut avoir moins de - — !-

valeurs. Supposons donc p et p' supérieurs à a (n — a) : alors, comme on suppose le théorème énoncé vrai pour les fonctions de n — u lettres,

chacun des nombres pet p' sera au moins égal à — — — — ; par

conséquent, la somme p-+-v, qui représente le nombre total des valeurs de V, sera égale ou supérieure k (n — a)(n — 3) et, à fortiori ,

supérieure a — - — -