SUR LES FONCTIONS DE QUATRE , CINQ ET SIX LETTRES

Par M. J. -A. SERRET

Je me propos»’ ici d’examiner les differents cas que peuvent présenter les fonctions de quatre et de cinq lettres, et un cas particulier remarquable des fonctions de six lettres.

Rappelons d’abord la définiJt'Ui des fonctions semblables. Deux fonctions d'un nombre quelconque n de lettres sont dites semblables , lorsque les permutations qui changent la valeur de l’une changent aussi la valeur de l’autre. On sait, en outre, que, si V et y sont des fonctions semblables de n lettres ayant p valeurs distinctes, la fonction V peut être exprimée par un polynôme entier et rationnel de degré p — i en y, et dont les coefficients sont des fonctions symétriques.

Lemme I. Le nombre des valeurs d'une Jonction d’un nombre i/uelconi/uc n de lettres, peut être représenté par p -t- pf -|- a" -t- . . . , p, p.', p.",... étant les nombres de valeurs distinctes <jue l’on obtient en permutant différents groupes composés chacun d'un même nombre m île lettres

une fonction de n lettres. Supposons que, par les permutations de m lettres

la fonction V prenne p valeurs distinctes

et que, par les permutations de toutes les lettres, elle prenne les p -t v valeurs

* Il T *»* • *> T ‘

la* produit

est une fonction symétrique des n lettres a, b, c, k, /; pareillement

V,)(* — V,)...(jr — V„)

est une fonction symétrique des in lettres g, li,..., k, l ; donc le produit

qu’on obtient en divisant les deux produits précédents l’un par l’autre , est aussi une fonction symétrique des in lettres g, /t,..., k, l.

Si la fonction V^, peut prendre les v valeurs V V V

par les permutations des lettres g , h,..., k, /; comme elle ne peut en prendre d’autres [*], il y aura nécessairement m lettres dont les permutations feront acquérir à V un nombre de valeurs égal à y, et, dans ce cas, notre proposition est démontrée.

Supposons donc que V„, ne puisse prendre que les a! valeurs

par les permutations de g, k, t; que prenne les u" valeurs

par les permutations de ces mêmes lettres; que pareillement, si v surpasse p' + p", Vtt*,,v„'v, prenne les p" valeurs

et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on ait épuisé toutes les valeurs de V ; alors le nombre des valeurs de V. sera p p' -t- y." -h..., et les lonc-

(*) D'après la proposition I du Mrmoirr précédent.

tions V,. V ai , , V„^Vl. ^n+fV+i'" ■ auront respectivement P/ P'. pV--

valeurs par les permutations des m lettres g, h,..., k, l\ d’où il suit que l’on pourra former différents groupes de m lettres, tels que par les permutations des lettres de chaque groupe, la fonction V prenne des nombres de valeurs respectivement égaux à p, j a', ft",.... Ce qu’il fallait démontrer.

Lemmf II. Si une fonction de. n lettres a ft valeurs par les permutations de n — i lettres , le nombre total de. ses valeurs est un diviseur du produit nu

une fonction de n lettres, et représentons par (i) ?, (fl), y„{a),

les valeurs en nombre p que peut prendre cette fonction par les permutations des n — i lettres

Si dans les fonctions (i) on transpose la lettre a avec chacune des n — i autres, on aura (n — i) p nouvelles valeurs de V, ce qui fera np en tout. Écrivons ces np valeurs