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qui seront évidemment les seules que la fonction V puisse acquérir. Je dis maintenant que si ces np valeurs tie sont pas distinctes, chacune îles valeurs distinctes se trouve répétée le même nombre de fois. Sup-

posons, en effet, que l’une des fonctions (a), que je représenterai simplement par V, se trouve reproduite ). fois, et soit V' une quelconque des fonctions (a) distinctes de V. Faisons la permutation par laquelle on passe de V' à V, les fonctions (a) ne feront que se changer les unes dans les autres. Par conséquent, la fonction V', qui est devenue V, étant reproduite ). fois, l’était aussi 7. fois avant la permutation. Ce qu’il fallait démontrer.

Des fonctions de quatre lettres.

une fonction de quatre letlresa, b, c, d.

Le nombre des valeurs que peut prendre cette fonction par les permutations de trois lettres devant être un diviseur du produit i . a . 3 sera nécessairement l’un des quatre nombres

il y a donc quatre cas à distinguer, suivant que la fonction prend une, deux ou trois valeurs par les permutations de trois lettres, et enfin, le cas où la fonction prend toujours six valeurs distinctes par les permutations de trois lettres quelconques.

i“. Supposons que la fonction V soit symétrique par rapport aux trois lettres b, c, d.

Dans ce cas, elle a quatre valeurs par les permutations des quatre lettres, ou elle n’en a qu’une seule. La fonction est semblable à l’un des deux types suivants

i°. Supposons que la fonction V ait deux valeurs par les permutations des trois lettres b, c, d.

Alors , elle a la forme

A -t- B (6 — c) (fc — d) (c — d ) ,

PUBES ET APPLIQUÉES. 4q

pii désignant par A et B des fonctions de ri, b, c, d symétriques par rapport à b, c, d; ou mieux la forme

A ■+• Be,

en posant

Si A et B sont symétriques par rapport aux quatre lettres a, b , c, d, la fonction V a deux valeurs seulement et elle est semblable à la fonction type v. Si, au contraire, l’une des fonctions A et B n’est symétrique que par rapport aux trois lettres b , c, d, la fonction V a huit valeurs, et elle est semblable au type

3“. Supposons que la fonction \ ait trois valeurs par les permutations des trois lettres b, c, d.

Dans ce cas, elle est symétrique par rapport à deux de ces trois lettres. Admettons que ce soit par rapport à c et d. Alors, si la fonction V est symétrique par rapport aux trois lettres a, c, d, elle a quatre valeurs, et son type est indiqué plus liant.

Si V n’est pas symétrique par rapport aux lettres a, c, d, il peut arriver qu’elle soit symétrique par rapport aux lettres a et b, on qu’elle ne le soit pas. Dans le dernier cas, le nombre des valeurs de V est évidemment égal au nombre des arrangements de quatre lettres deux à deux, c’est-à-dire à douze, et la fonction V est semblable au type

a -+- nb — c — d.

Si la fonction V est, au contraire, symétrique par rapport aux lettres a et b en même temps qu’elle l’est par rapport aux lettres c et il , et que, de plus, elle change par le changement réciproque de a et b en c et d , le nombre de ses valeurs est évidemment égal au nombre des combinaisons de quatre lettres deux à deux, c’est-a-dire à G, et la fonction est semblable au type