Tome XV. — Ftvtitii i8'o

f>o JOUR NAT. DE MATHÉMATIQUES

.Mais, si la fonction V, symétrique par rapport à a et b et par rapport ,i c et d, ne change pas par le changement réciproque de a et b en c et d , le nombre de ses valeurs est la moitié du nombre des combinaisons de quatre lettres deux à deux, c'est-à-dire 3, et la fonction est semblable aux deux types équivalents

(a -+- b— c — d )*, nb -t- cd.

i°. Supposons maintenant que la fonction V ait toujours six valeurs distinctes par les permutations de trois quelconques des quatre lettres a, b, c, d. Le nombre total des valeurs de V doit diviser le produit i.2.3.4 = a4, et, d'après le lemme I, il doit être un multiple de G; il sera donc égal à G, 12 ou a4- Nous examinerons d'abord le premier cas.

Puisque la fonction V n’a que six valeurs distinctes, parmi les >4 permutations des 4 lettres a, b, c, d, il y en a quatre qui font acquérir à la fonction la même valeur; d’ailleurs deux permutations, où l’une des quatre lettres a, h , c, d occupe la même place, 11e peuvent correspondre à des valeurs égales de V, puisque cette fonction prend ses six valeurs par les permutations de trois lettres quelconques; donc les quatre permutations qui font acquérir à V la même valeur sont comprises dans les dix suivantes :

(3) b, c, il, a; (G) c , d, b, a-, (9) d, c , a, b ;

Or les six permutations (3), (4), (6) , (7), (9), (10) se déduisent de la première par une substitution circulaire [*]; il arrivera donc de deux choses l'une: ou bien la fonction V ne sera pas changée par une substitution circulaire effectuée sur les quatre lettres qu’elle renferme,

[*] Une substitution est dite circulaire lorsque, ayant écrit un certain nombre de lettres dans un ordre quelconque aux sommets d'un polygone régulier, la substitution consiste à remplacer chaque lettre par celle qui la suit.

PURES ET APPLIQUÉES. T.i

ou bien les permutations (i), (a), (5), (8), c'est-à-dire

a , by Cy d\

Cy dy a y b;

d y Cf by tlf

lui feront acquérir la même valeur. Dans ce dernier cas, la fonction V ne change pas quand on transpose deux lettres quelconques, pourvu qu’on transpose en même temps les deux autres. Elle est semblable au type

Si, au contraire, la fonction V reste invariable par une permutation circulaire, par exemple par celle qui équivaut au changement de fl, h , c , d en Cy dybya, et qu’on représente par la notation

/ abc d\

elle ne changera pas non plus en répétant deux ou trois fois cette même permutation , car l’égalité

entraîne les deux suivantes :

La fonction V est alors semblable au type

(, a - b) (c - d) [(« - by - (c - d)* J.

Considérons maintenant le cas où la fonction V a douze valeurs. Alors elle doit nécessairement changer de valeur par une permutation circulaire des quatre lettres a, b,c, d, car autrement elle n’aurait

5 a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

que six valeurs, par conséquent, parmi les quatre permutations

Il y en a deux qui font acquérir la même valeur à la fonction V. En d’autres termes , la fonction V doit rester la même quand on fait les transpositions (a, b) et(c, d), ou (n, c) et (A, d), ou (a, d) et (6, c). La fonction est semblable au type

qui ne, change pas par l’effet des deux transpositions {a, c) et (b, d).

Enfin, si la fonction V a vingt-quatre valeurs, elle sera semblable au type

Résumé.

Il résulte de cette discussion que les fonctions de quatre lettres peuvent être partagées en onze classes de la manière suivante :

i°. Les fonctions symétriques;

a0. Les fonctions qui ont deux valeurs distinctes;

3°. Les fonctions qui ont trois valeurs distinctes;

4°. Les fonctions qui ont quatre valeurs distinctes. Elles sont symétriques par rapport à trois lettres;

5°. Les fonctions qui ont six valeurs et qui sont symétriques par rapport à deux lettres, et symétriques aussi par rapport aux deux autres ;

G®. Les fonctions qui ont six valeurs et qui ne sont pas changées par une permutation circulaire des quatre lettres;

7°. Les fonctions qui ont six valeurs, et qui ne sont pas changées quand on transpose deux lettres, pourvu qu’on transpose aussi les deux autres;

8". Les fonctions qui ont huit valeurs. Elles n’ont que deux valeurs distinctes par les permutations de trois lettres;

çf. Les fonctions qui ont douze valeurs et qui sont symétriques par rapport à deux lettres;

io°. Les fonctions qui ont douze valeurs et qui ne sont pas symétriques par rapport à deux lettres. On peut disposer les quatre lettres en deux groupes tels, que les fonctions dont il s’agit ne soient pas changées par les transpositions simultanées des lettres de chaque groupe ;

1 1°. Les fonctions qui ont vingt-quatre valeurs.

Remarque. Le nombre des valeurs d’une fonction de quatre lettres peut être un diviseur quelconque du produit i.a.3.4-

Des Jonctions de cinq lettres.

Nous distinguerons deux cas principaux que nous subdiviserons eux-mêmes en plusieurs. Le premier cas est celui des fonctions qui ont moins de six valeurs distinctes par les permutations de trois lettres. Le second cas, au contraire, est celui des fonctions qui prennent six valeurs distinctes par les permutations de trois lettres quelconques.

Premier cat.

Soit

une fonction de cinq lettres a, b, c, d, e, et supposons que cette fonction ait moins de six valeurs par les permutations des trois lettres c, d, e\ ce nombre de valeurs étant un diviseur de i.a.3 = 6 ne peut être que l’un des trois nombres

Nous allons analyser ces trois cas.

i“. La Jonction V est symétrique par rapport aux lettres c, d, e.

Alors, si elle est symétrique par rapport à quatre lettres, b, c,

(7, e par exemple, sans l’être par rapport aux -cinq lettres, elle a cinq

valeurs.

Si elle n'est pas symétrique par rapport à quatre lettres, mais qu’elle le soit par rapport à a et b , elle a dix valeurs. Enfin elle en a vingt si elle n’est pas symétrique par rapport à a et b.

La fonction est semblable à l’un des quatre types suivants :

rt -t- b -+- c -H d -t- e,

•à a + b -t- c ■+■ fi 4- e, art + i/i + c + rl+«,

3 rt -+- a h -+- c -t- d -+- e.

■i°. La fonction V a deux valeurs par les permutations des trois lettres c, d, e.

Dans ce cas, on peut poser

o (rt, h , c, d, e) = A -4- B(c — d) (c — e) (d — e),

ou même

?(rt, b,c, d , e) = A -t- Ile, en faisant, pour abréger,

et en désignant par A et B des fonctions de rt, b , c, d, e, symétriques par rapport à c, d, e, et dont le type a été indiqué plus liant.

Si A et B sont symétriques par rapport aux cinq lettres a, b, c, d. c, la fonction V n’a que deux valeurs, et elle est semblable au type e. Autrement, je dis quelle a dix, vingt ou quarante valeurs.

Rappelons d’abord que la fonction V change par une transposition quelconque îles trois lettres c , d, e, et qu’elle ne change pas par une permutation circulaire de ces trois lettres , dont l’effet équivaut à celui de deux transpositions. La fonction V changera aussi de valeur si l’on remplace les deux lettres a et b par deux autres d, e, quel que soit l’ordre qu’on adopte pour les trois dernières; si, en effet, on avait

o (rt , b,c ,d,e) = f (d, e . .) ,

PURES ET APPLIQUÉES. r>5

la fonction V n’aurait que deux valeurs par les permutations des lettres a, b, c, et, par conséquent, elle ne changerait pas de valeur par une permutation circulaire de ces trois lettres. Mais si la fonction V n’est changée par aucune permutation circulaire de a, b, c et de c, (/, e, elle ne changera par aucune permutation circulaire de trois lettres quelconques. D’où il résidte que deux transpositions quelconques sont équivalentes, et, par suite, que la fonction V n’a que deux valeurs, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Soient maintenant V' et V* les deux valeurs que prend V par les jicrmutntions des lettres c, il , e , et posons

la fonction X étant symétrique par rapport à c , il, e, le nombre ;z de ses valeurs est égal à 5, 10 ou ao. Soient

X, = (x-v,)(x-r,), \2={x-va)(x-r5),

les u valeurs de X qui sont, par hypothèse, différentes. Je dis que deux de ces valeurs ne sauraient avoir un facteur commun. Supposons, en effet, que l’on ait

V, = V, ou = V',.

D’après ce que nous venons de montrer tout à l’heure, deux des trois dernières lettres de V, doivent faire partie des trois dernières lettres de V', ou de V' ; mais, en faisant la transposition de ces deux lettres, la précédente équation devient

V' = V\ ou = V, ,

et, par conséquent, X, et X2 sont identiques, ce qui est contre l’hypothèse. En égalant à zéro le produit de toutes les fonctions X, on aura une équation de degré a <z dont les coefficients seront des fonctions symétriques, et dont les a/z racines tontes inégales seront les valeurs de la fonction V.

La funcliou V a donc dix, vingt ou quarante valeurs, suivant que u est égal à 5, 10 ou ao.

Si l'on a a = 5, la fonction X est symétrique par rapport à quatre lettres, A, c, d, e par exemple, et alors la fonction V n’a que deux valeurs par les permutations de ces quatre lettres; elle a la forme

A +■ Bu,

où A et B désignent des fonctions symétriques de A, c, d, e , dont l'une au moins n’est pas symétrique par rapport aux cinq lettres, et elle est semblable au type

de.

Si l’on a a = i o , la fonction X est symétrique par rapport aux lettres o et A; mais il peut arriver deux cas: ou bien les deux facteurs de X sont chacun symétriques par rapport k a et A, ou bien ils se changent l’un dans l’autre par la transposition (d, A). Dans le premier cas, la fonction V est symétrique par rapport à a et A et a deux valeurs par les permutations de c, d, e ; elle a donc la forme

où A et B désignent des fonctions symétriques par rapport à a et A en même temps que par rapport à c , d, e. Elle est semblable au type

Mais il n’en est plus de même si les facteurs de X se changent l’un dans l'autre par la transposition (d, A), comme par la transposition de deux quelconques des trois lettres c, d, e. Alors , en posant V’, = A + l! (c - d) (c — e) (d — e) ,

comme V, et V, se changent l’une dans l’autre par la transposition (d. A), leur somme et leur produit ne changeront pas, et, par conséquent, A et B3 sont des fonctions symétriques de d et A; d’ailleurs B ne peut être elle-même symétrique par rapport à a et A, elle a donc (a forme B' (d — A) , et l’on peut poser

V = A 4- B fd — A) (c — d)(c — e) (d — e ) ,

en désignant ici par A et B des fonctions symétriques par rapport à a et b en même temps que par rapport à c, d, e. I.e lyj>e de la fonction V est alors

Enfin, si ijl = ao, la fonction V a l\o valeurs; il n’y a donc que les permutations circulaires des trois lettres c, d, e qui la laissent invariable, et, par conséquent, la fonction V est semblable au type

Remarque. Les fonctions de cinq lettres qui ont deux, valeurs par les permutations de trois lettres offrent cinq types différents; mais elles sont toutes comprises dans la formule générale

ou A et B désignent des fonctions ties cinq lettres a, b, c, d, e, symétriques par rapport aux trois dernieres.

3°. La Jonction V a trois valeurs par les permutations des trois lettres c, d, e.

Alors elle est symétrique par rapport à deux lettres d et e par exemple. Si elle a une ou deux valeurs seulement par les permutations des trois lettres a, b,c , elle se trouve comprise dans l’une des deux catégories que nous venons d’étudier. Nous supposerons donc que V a trois ou six valeurs par les permutations des lettres a , b, c.

Si la fonction V a trois valeurs par les permutations des lettres a, b, c, elle est symétrique par rapport à deux de ces lettres. Supposons que ce soient b et c. Comme nous nous sommes déjà occupés du cas des fonctions symétriques par rapport à trois lettres, il n’y a ici que deux cas à distinguer : ou bien la fonction V, symétrique par rapport à b et c en même temps que par rapport à d et e, change par le changement réciproque de b et c en d et e, on bien elle ne change pas. Dans le premier cas, il est évident que le nombre des valeurs de la fonction est égal à cinq fois le nombre des combinaisons de quatre lettres deux à deux, c'est-à-dire à 3o; dans le second cas, ce nombre de valeurs est moitié moindre. Dans le premier cas. la fonction est