OU

Notre second cas se subdivise donc en six autres que nous allons discuter.

i°. La Jonction V a six valeurs.

Puisque la fonction V, considérée comme fonction de quatre lettres, «, b, c , ci par exemple, prend ses six valeurs par les permutations de trois lettres quelconques, elle ne change pas par une certaine permutation circulaire de ces quatre lettres, ou bien la transposition de deux quelconques de ces quatre lettres équivaut à la transposition des deux autres, ainsi qu'on. l’a vu dans le $ I de ce Mémoire. Dans l’un et l’autre cas, il y a deux lettres parmi les quatre a, b, c, ci dont la transposition équivaut à la transposition des deux autres; car si la fonction V u’est pas changée par une permutation circulaire de quatre lettres, elle ne changera pas non plus en répétant une seconde fois cette même permutation , mais alors on n’aura produit d’autre changement que la transposition de deux des quatre lettres a, b, c, <1, en même temps que la transposition des deux autres. Supposons, par exemple , que l’on ail (i) (a, ci) — (b, c).

l’areilleinent, parmi les quatre lettres a, b , c, e, il y en a deux dont la transposition équivaut à la transposition des deux autres. Or (a, e ne peut être égale à {b, c); car, à cause de l’égalité (i), les transpositions («, ci) et (a, e) qui ont une lettre commune seraient équivalentes, et, par conséquent, la fonction V n'aurait pas- six valeurs distinctes par les permutations des lettres a, d, e, comme nous l’avons supposé.

Les transpositions {et , b) et [c, e } ou (a, c) et [b, e ) sont donc égales;

supposons

Maintenant, en ayant égard aux égalités (i) et (a) et se rappelant que deux transpositions qui ont une lettre commune ne peuvent être égales, les trois combinaisons des cinq lettres a, b, c,*d, e, quatre à quatre, que nous n’avons pas encore considérées, donneront nécessairement

Ainsi les dix transpositions que l’on peut faire avec les cinq lettres a,

b, c, d , c sont équivalentes deux à deux. 11 en résulte qu’il y a une permutation circulaire des cinq lettres fl, b, c, d , c, qui ne change pas la fonction V. En effet, la fonction V ne change pas si l’on transpose la première lettre avec la quatrième, et la deuxième avec la troisième; on a donc ,

Pareillement, le second membre ne changera pas si l’on transpose la première lettre avec la troisième, et la quatrième avec la cinquième; on a donc

» (fl, b,c, d, e) = f(b, c, d, e, a),

et, par conséquent, on voit que la fonction V n’est pas changée par la permutation circulaire de cinq lettres

le dis, en outre, qu’il y a une permutation circulaire des quatre lettres b, c, d, c qui ne change pas la fonction V ; en effet, s’il en était autrement, comme la fonction V prend ses six valeurs par les

[*] On petit toujours faire relie hypothèse, sauf à changer le nom des tellies tie V.

PURES ET APPLIQUÉES. (il

permutations de trois quelconques des lettres b , c, d, e, In transposition de deux quelconques de ces quatre lettres serait équivalente à la transposition des deux autres; on aurait, par exemple,

et les égalités (i) et (3) donneraient

{a, c) = (fl,//),

ce qui est impossible puisque ces deux transpositions ont une lettre commune. Il est aisé de découvrir quelle est la permutation circulaire des quatre lettres b, c, cl, e qui laisse la fonction V invariable; car, en répétant deux fois cette permutation circulaire, on ne produit d'autre effet que la transposition de deux lettres en mente temps que la transposition des deux autres. Ces deux transpositions devant être égales ne peuvent être que(Z>, e) et (c, d); d’où l’on conclut aisément que la permutation circulaire des lettres b, c, d, e, qui n’altère pas V, est

Vc c d b) °U \d e c b) '

Mais il est évident que chacune de ces permutations laissera V invariable, car chacune d’elles produit le même effet que l’autre répétée trois fois.

Ainsi la fonction que nous considérons demeure invariable par les deux permutations circulaires

\b c il k a) \c e d b

Concluons donc que les fonctions de cinq lettres qui ont six valeurs sont invariables par deux permutations circulaires, l'nue de cinq, l’autre de quatre lettres, et que les fonctions de ce genre sont toutes semblables à un même type. On peut prendre pour type de ces fonctions, l’une de celles que Lagrange a considérées dans son étude sur la résolution générale des équations. Ce sont les fonctions syiné-

6i JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

triques des cinq expressions suivantes :

(a + Aa + ea1 + rf*’ + ea*)’,

(a 4- b§ + cS* -t- d$* -4- eê‘)\

(a 4- by -t- cy1 -V rfy* 4- cy')1,

(a 4- /)<? 4- -t- r/J1 4- eef*)*,

où a, 6, y, o' désignent les quatre racines de l’équation x* 4- x1 4- x1 4- x 4- i = o.

Ou peut aussi déduire de notre analyse un type assez simple des fonctions de cinq lettres qui ont six valeurs. Si l’on forme les produits deux à deux des cinq lettres a, b, c, d, e , que l’on ajoute ensemble les deux produits qui correspondent à deux transpositions équivalentes, et qu’on multiplie la somme par le carré de la cinquième lettre qui n’y entre pas, on obtiendra les cinq fonctions suivantes :

[ad 4- bc) e",

(i ab h- ce) d1,

(ae 4- bd) c‘.

( ac 4- de) b'.

(be 4- cd)a1.

Or, si l’on applique à ces fonctions l’une quelconque des deux substitutions circulaires

elles ne font que s’ échanger les unes dans les autres; donc leur somme ne changera par aucune de ces permutations, et comme d’ailleurs elle n’est pas symétrique , elle aura six valeurs distinctes. On peut1 donc prendre pour type des fonctions de cinq lettres qui ont six valeurs, la fonction suivante.

a- (be 4- ed) 4- b' {ac 4- de) H- e'(ae 4- bd) 4 - d\ab 4- ce) 4- e'\ad + be),

qui est homogène et du quatrième degré.

PURES ET APPLIQUÉES. ti3

a°. La Jonction V a trente valeurs.

Comme elle a six valeurs par les permutations de trois quelconques des quatre lettres b , c, il, e, considérée comme fonction de ces quatre lettres, elle est semblable à l’un des deux types

Les fonctions que nous considérons forment donc deux classes. Les permutations qui laissent invariables les fonctions de la première classe sont les transpositions simultanées que l’on forme en partageant quatre lettres en deux groupes. Les fonctions de la seconde espèce ne sont pas changées par une permutation circulaire de quatre lettres. On peut prendre les deux fonctions qu’on vient d’écrire pour types des fonctions de cinq lettres qui ont trente valeurs, et qui en ont toujours six par les permutations de trois lettres quelconques.

3°. La fonction V a douze valeurs.

Dans ce cas, la fonction V prend ses douze valeurs par les permutations de quatre lettres quelconques, comme nous en avons déjà fait la remarque au commencement de ce paragraphe. En outre, comme de ces douze valeurs elle en prend toujours six par les permutations de trois lettres quelconques, il résulte de ce qui a été dit dans le § I , qu’on peut partager quatre quelconques des cinq lettres a, b, c, d , e en deux groupes tels, que la transposition des lettres du premier groupe soit équivalente à la transposition des lettres du second groupe. D’où il résulte, comme nous l’avons vu précédemment, que les dix transpositions sont équivalentes deux à deux, et que la fonction V n’est pas changée par une permutation circulaire de cinq lettres.

On voit donc que les fonctions de cinq lettres qui ont douze valeurs

restent invariables par une permutation circulaire de cinq lettres ,

fa b c d e\ , .

j J Par exemple, et par les transpositions simultanées

(a, d) et ( b , c).

On peut prendre pour type le produit

YX*

en posant

et en désignant par y une fonction de cinq lettres qui a six valeurs.

4°. Art fonction V a soixante valeurs.

Considérée comme fonction des quatre lettres b, c, 1 1, e, elle a douze valeurs et elle est semblable au type

(A + ic)(rf+ ae),

d’apres le § I. La seule permutation qui ne change pas sa valeur équivaut aux deux transpositions simultanées ( b , il), (c, e); donc les fonctions de cinq lettres, qui ont soixante valeurs et qui en ont six par les permutations de trois lettres quelconques, sont semblables au type qu’on vient d’écrire.

5°. Ln Jonction V a vingt-quatre valeurs.

Dans ce cas, il y a cinq permutations qui donnent a la fonction V la même valeur. Désignons par A et A' deux permutations quelconques donnant à V la même valeur. Je dis que A' doit nécessairement se déduire de A par une permutation circulaire de cinq lettres. En effet . A' se déduit nécessairement de A

ou par une permutation circulaire de cinq lettres, ou par une permutation circulaire de quatre lettres , ou par une permutation circulaire de trois lettres jointe à une transposition,

ou par une seule permutation circulaire de trois lettres, ou par deux transpositions, ou par une transposition.

Le deuxième, le quatrième, le cinquième et le sixième cas sont impossibles, car la fonction V n’aurait pas vingt-quatre valeurs par les permutations de quatre lettres.

Le troisième cas est également impossible, car en répétant trois lois l’opération par laquelle on passe tic la permutation A à la permuta-

tion A', en obtiendrait une permutation A” qui donnerait à V la même valeur que la permutation A. Or A et A" se déduisent l’une de l’autre par une simple transposition, et la fonction V n’est pas symétrique par rapport à deux lettres; donc, etc.

Donc la fonction V n’est pas changée par une permutation circulaire de cinq lettres.

il suit de là que les fonctions de cinq lettres qui ont vingt-quatre valeurs sont semblables. On peut prendre pour type la fonction résolvante de Lagrange pour l’équation du cinquième degré, savoir

( a ia+ca1 + da. * -t- ea*)s,

où a désigne une racine de l’équation

6°. La / onction V a cent vingt valeurs.

On peut prendre pour type

Résumé.

Il résulte de cette discussion que les fonctions de cinq lettres peuvent être partagées en dix-neuf classes de la manière suivante :

i°. Les fonctions symétriques.

a°. Les fonctions qui ont deux valeurs distinctes.

3°. Les fonctions qui ont cinq valeurs distinctes; elles sont symétriques par rapport à quatre lettres.

4°. Les fonctions qui ont six valeurs distinctes. 11 y a une permutation circulaire de cinq lettres et une de quatre qui ne changent pas leur valeur.

5°. Les fondions qui ont dix valeurs et qui sont symétriques par rapport à trois lettres.

6°. Les fonctions qui ont dix valeurs et qui ont deux valeurs par les permutations de quatre lettres.

Tom* XV t'iTKitft l85o, 9

•f. Les fonctions qui ont douze valeurs. 11 y a une permutation circulaire, de cinq lettres qui ne change pas leur valeur. On peut aussi grouper quatre lettres quelconques deux à deux , de manière que les transpositions simultanées des lettres de chaque groupe ne changent pas les fonctions de cette espèce.

8°. Les fonctions qui ont quinze valeurs. Elles sont symétriques par rapport à deux lettres, symétriques aussi par rapport à deux autres, et, de plus, elles ne changent pas en transposant les deux premières respectivement avec les deux dernières.

9°. Les fonctions qui ont vingt valeurs et qui sont symétriques par rapport à trois lettres.

io°. Les fonctions qui ont vingt valeurs, qui sont symétriques par rapport à deux lettres, et ont deux valeurs par les permutations des trois autres lettres.

1 1°. Les fonctions qui ont vingt valeurs, et qui ont deux valeurs par les permutations de trois lettres, sans être symétriques par rapport aux deux autres.

la®. Ia;s fonctions qui ont vingt-quatre valeurs. Il y a une permutation circulaire de cinq lettres qui ne change pas leur valeur.

13°. Les fonctions qui ont trente valeurs et qui sont symétriques par rapport à deux lettres, symétriques aussi par rapport à deux autres, mais qui changent quand on transpose les deux premières respectivement avec les deux autres.

i4°. Les fonctions qui ont trente valeurs et qui ne changent pas par une permutation circulaire de quatre lettres.

i5°. Les fonctions qui ont trente valeurs et qui contiennent quatre lettres, de telle manière qu’elles ne changent pas quand on transpose deux quelconques de ces quatre lettres, pourvu qu’on transpose en même temps les deux autres.

iü°. Les fonctions qui ont quarante valeurs. Elles n’ont que deux valeurs par les permutations de trois des cinq lettres.

170. Les fonctions qui ont soixante valeurs et qui sont symétriques par rapport à deux lettres.

18". Les fonctions qui ont soixante valeurs et qui ne sont pas symétriques par rapport à deux lettres.