Les fonctions qui ont cent vingt valeurs

Remarque. Tout diviseur du produit i.a.3.4.5, à l’exception de 3, 4 et 8, peut représenter le nombre des valeurs d’une fonction de cinq lettres.

Des fonctions de. six lettres qui ont six valeurs distinctes.

Dans le Mémoire précédent, j’ai démontré qu’une fonction de n lettres qui a précisément n valeurs distinctes, est symétrique par rapport à « — 1 lettres, à moins que n ne soit égal à 6. Les fonctions de six lettres constituent ainsi une exception digne de remarque; j’indiquerai , en terminant ce Mémoire , la composition des fonctions de six lettres non symétriques par rapport à cinq lettres et qui offrent cependant six valeurs distinctes.

Soit

une fonction de six lettres qu’on suppose avoir six valeurs distinctes.

Le nombre des valeurs qu’on peut obtenir par les permutations des cinq lettres

ne pouvant être égal ni à 3 ni à 4, sera l’un des quatre suivants :

Dans le premier cas, la fonction V est symétrique par rapport à cinq lettres, et elle a effectivement six valeurs distinctes.

Le deuxième cas est impossible, car le nombre total des valeurs de V serait égal à a ou à la, ce qui est contre l’hypothèse.

Dans le troisième cas , la fonction V a cinq valeurs par les permutations de cinq lettres, et elle en a six par les permutations des six lettres; il en résulte que la fonction V est symétrique par rapport à cinq lettres.

Il suit de là que si la fonction Y n’est pas symétrique par rapport à cinq lettres, elle doit prendre ses six valeurs par les permutations de cinq lettres quelconques. D’ailleurs on a vu , dans le paragraphe précédent , qu’une fonction de cinq lettres qui a six valeurs, prend ses six valeurs par les permutations de trois lettres quelconques: donc, une fonction de six lettres, qui a six valeurs distinctes et qui n’est pas symétrique par rapport à cinq lettres, prend ses six valeurs par les permutations de trois lettres quelconques.

En considérant V comme fonction des cinq lettres a, b, C, d, e, on a vu que cette fonction n’est pas changée par une jiermutation circulaire de cinq lettres et par une de quatre f soient, comme dans le paragraphe précédent,

fa h c d e\ (b c e d

ces deux permutations. Pour établir que la fonction V n’est pas changée par la première des deux permutations circulaires précédentes, nous avons démontré que les dix transpositions que l'on obtient en combinant deux à deux les cinq lettres a, b, c, d, e, sont équivalentes deux à deux : on a

ce qui, au surplus, peut être déduit, à posteriori, de ce que la fonction V n’est pas changée par les deux permutations circulaires écrites plus haut.

Si maintenant on considère les quinze transpositions qu’on obtient en combinant les six lettres deux à deux, il est évident que les cinq qui contiennent la lettre / devront être respectivement équivalentes à cinq des dix autres; et comme deux transpositions qui ont une lettre commune ne peuvent être équivalentes, ainsique j’en ai fait la remarque

dans le paragraphe précédent , 011 aura nécessairement

(fl, b) = (c, e) = ( d ,/),

Ainsi, en particulier, on ne changera pas V en y faisant simultanément les deux transpositions (c, e) et { d,f ) ; on aura donc

Maintenant nous savons que la fonction V n'est pas changée par la permutation circulaire

on aura donc

Enfin, comme cette fonction n’est pas changée non plus par la permutation circulaire

on aura

V ou <?{a, b, c, d, e>J ) = f(b,J, a, e, c, d);

on voit donc que la fonction V n’est pas changée par la permutation circulaire de six lettres

(a b c d e J \ Qu (a b f d e c\

Concluons donc que les fonctions de six lettres qui ont six valeurs, et qui ne sont pas symétriques par rapport à cinq lettres, ne sont pas changées : [*]

[*] Nous indiquons par cette notation qu’il faut remplacer les lettres qui occupent les rangs 1, a, 3, 4, 5, par celles qui occupent les rangs a, 3, 4,5,'

7o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

i". Par une permutation circulaire de six lettres; a°. Par une de cinq lettres;

3°. Par une de quatre lettres.

11 résulte aussi de notre analyse que toutes les fonctions de celte espèce sont semblables et peuvent s’exprimer rationnellement en fonction de l’une quelconque d’entre elles et de fonctions symétriques. Nous nous bornerons donc à indiquer la formation d’un type.

Formons les produits deux à deux des six lettres a, b, c, d, e,J , et faisons les sommes des trois produits correspondants aux transpositions équivalentes que nous avons écrites plus haut. On aura les cinq fonctions suivantes :

I ad -b bc ■ +- e/, ab -+- ce -+- dj,

(i) ae -h bd -h cf,

ac -b de + bf, i he -b cd -b a /;

or, si l’on applique l’une quelconque des substitutions circulaires

\è. f deçà ) \b c d e a ) \c e d b)

aux fonctions (i), on voit qu’elles ne font que s’échanger les unes dans les autres: donc leur produit

(art -bbc -b ef) (ab + ce + df) (ac -b bd -b cf) ( ac -4 -de -b bf) (be -b cd b af)

ne changera par aucune des substitutions circulaires (a), et, comme il n’est pas symétrique , il a précisément six valeurs.

La somme des expressions (i) est une fonction symétrique; il en est de même de la somme de leurs carrés : mais la somme de leurs cubes ne l’est pas, et peut être prise, aussi bien que le produit précédent, pour type des fonctions que nous considérons.

PUKES ET APPLIQUÉES.