SUR LES FRACTIONS CONTINUES

Par M. lu. BOURGOIN.

On connaît la loi de formation des réduites successives d’n ne fraction continue

[a, b, c, d, e, etc., représentant des nombres entiers que nous appellerons les termes de la fraction continue). On sait que le numérateur de la pi*"* réduite est une somme de deux parties qui sont : i° le produit du numérateur de la ( p — i )ttm* réduite par le p‘ime terme de la fraction continue; i° le numérateur de la ( p — réduite. Fa; dénominateur de la pifmr réduite est composé de la même manière avec les dénominateurs des deux réduites précédentes et avec le plimr terme de la fraction continue.

Le numérateur et le dénominateur d’une même réduite sont premiers entre eux; ils ne peuvent donc être tous deux des nombres pairs. Les réduites d’une fraction continue seront toutes comprises dans trois classes qui sont : i° celle des réduites dont le numérateur est pair et dont le dénominateur est impair; a° celle des réduites dont le numérateur est impair et dont le dénominateur est pair; 3° enfin la classe des réduites qui ont le numérateur et le dénominateur tous deux impairs.

L’ordre selon lequel se succèdent les termes pairs et impairs d’une

fraction continue, depuis 1c premier terme jusqu’à celui d’un certain rang, détermine la classe à laquelle appartiendra la réduite de ce rang. Cette dépendance se précise en un théorème que nous allons essayer de mettre en évidence.

Nous pouvons soumettre les termes de la fraction continue à trois sortes de triages ; voici en quoi ces triages consistent :

i°. En parcourant la suite des termes a, 6, c, d, e, etc., effaçons le premier terme, ou plutôt, affectons-le d’une marque distinctive particulière; puis, si le deuxième terme est un nombre pair, effaçons le troisième, ou donnons-lui la même marque arbitraire qu'au premier ; si le deuxième terme est impair, avançons dans la suite des termes jusqu’à ce que nous atteignions un nouveau terme impair, et donnons au terme suivant la marque déjà employée pour le premier terme.

a". Au lieu de débuter ainsi, nous pourrions suivre cette autre règle: Ne marquons pas le premier' terme de la fraction continue; mais, s’il est pair, marquons le deuxième; si le premier est impair, avançons dans la suite des termes de la fraction continue jusqu'à ce que nous rencontrions un nouveau terme impair, et marquons le terme du rang immédiatement plus élevé.

3°. Enfin, nous pourrions débuter d’une troisième manière: Le premier terme ne sera point marqué; s’il est impair, on marquera le deuxième terme; si le premier terme est pair, on avancera dans la suite des termes jusqu’à ce que l’on rencontre un terme impair, et l'on marquera le terme du rang suivant.

Voilà trois procédés bien distincts. Complétons-les par une convention qui se rattache à tous les trois indifféremment; la voici : Quand un terme de la fraction continue se trouve marqué, si le terme du rang immédiatement suivant est pair, marquons le terme qui vient apres celui-ci; si le terme qui suit immédiatement un terme marqué est impair, avançons dans la suite des termes de la Iraction continue jusqu’à ce que nous rencontrions un nouveau terme impair, et marquons le terme qui vient après celui-ci.

Afin de nous faire bien comprendre, nous allons appliquer concurremment, à la même succession de termes pairs et impairs, nos trois

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procédés de triage. Supposons, par exemple, que les termes d’une fraction continue se succèdent, à partir du premier, de la manière suivante:

i«, a*, 3*. 4'. 5*, 6', y. B", 9', io", il*, i**, i3*, • 4', i5% 16', 17*. etc.

impair, impair, impair, impair, pair, pnir, impair, Impair. pair, Impair, pair, pal», Impair, impair, pair. Impair. H*., air.

Adoptons, pour marquer les termes d’après le premier mode de triage, le caractère I); pour les marquer d’après le deuxième mode de triage, le caractère N ; et enfin , pour les marquer d’après le troisième mode de triage, le caractère I. Les termes qui, dans la fraction continue prise jxiur exemple, recevront la marque D sont ceux dont les rangs ont les numéros

1 • . 4.6. . 9 kkok 14 . lG » fie.

Les termes qui recevront la marque N sont ceux dont les rangs ont les numéros

. k 3 kkk* 8 . 10 » il • • i5 • • *tc.

Enfin , les termes qui recevront la marque I sont ceux dont voici les numéros

, 2 k • 5 k 7 k . k 11 k ,3 • k k 17 eic.

Par là, les trois marques distribuées aux termes de la fraction continue se succéderont dans l’ordre suivant :

U, I, N, D, I, D, I, N, D, K, I, N, I, D, N, D, I, rlc.

Qu’on nous permette, pour la commodité du langage, d appeler termes dénommatoires les termes de la fraction continue qui reçoivent la marque D; d’appeler lernies numératoires ceux qui reçoivent la marque N ; et enfin , ternies imparitoires ceux qui prennent la marque 1. I-a suite des termes de la fraction continue peut être regardée comme composée de suites élémentaires qui commencent aux divers termes dénomiruitoires ; chacune de ces suites élémentaires s'appellera une période dénominatorialc. On donnera un sens analogue aux locutions période numéro tonale, période imparitoriale.

La distribution des trois marques D, N, I, aux termes de la fraction continue, suivant nos procédés conventionnels, entraîne certaines conséquences que nous allons signaler.

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$ II-

Deux termes absolument consécutifs, par exemple le sixième et le septième termes de la fraction continue, ne sauraient porter la même marque, c’est-à-dire être tous deux de'nominaloires , ou tous deux numératoires , etc.

Un même terme ne saurait cumuler deux marques différentes, par exemple être à la fois numératoire et dénominatoire; car, si cela arrivait, il s’ensuivrait, d’après les procédés même de triage, que le terme numératoire précédent serait aussi dénominatoire ; que le terme numératoire anté-précédenl serait aussi dénominatoire, et ainsi de suite; et enfin que le premier terme numératoire serait en même temps dénominatoire, ce qui est évidemment impossible.

Aucun terme de la fraction continue ne saurait être exempt de marque; autrement parlant, un terme quelconque sera nécessairement , soit numératoire, soit dénominatoire, soit imparitoire. En effet, considérons deux termes absolument consécutifs, et supposons qu’ils ne soient numératoires ni l’un ni l’autre; ils appartiendront à une même période numératoriale, et ni l’un ni l’autre ne sera le premier terme de la période. Supposons, en outre, qu'ils ne soient dénoiniuatoires ni l’un ni l’autre ; ils appartiendraient à une même période dénominatoriale, et ils ne la commenceraient ni l’un ni l’autre. En vertu même des procédés de triage, le terme qui commencerait la période numératoriale commencerait aussi la période dénominatorialc, c’est-à-dire cumulerait deux marques, ce qui est impossible. Ainsi, quand deux termes consécutifs ne seront numératoires ni l’un l'autre, l’un des deux sera dénominatoire; quand ils ne seront dénoininatoires ni l'un ni l’autre, l’un des deux sera numératoire. On démontrerait d’une manière analogue que si deux termes consécutifs ne sont numératoires ni l’un ni l’autre, l’un des deux est imparitoire, et vice vend; que, s’ils ne sont dénominatoires ni l’un ni l’autre, l’un des deux est imparitoire, et vice versâ. En résumé, si deux termes consécutifs sont exempts d’une certaine marque, ils doivent se partager les deux autres marques.

Quelles que soient les marques prises par les p premiers termes

d’une fraction continue, on peut toujours, si l’on est maître de faire le p1'"" ternie pair ou impair, donner au ( p -f- 1)'""' terme telle marque qu’on voudra, autre que celle du p'*me terme, sans que la marque d’aucun des p premiers termes se trouve changée. Observons d abord que, d’après les procédés même de triage, la marque particulière que prend le terme d’un certain rang 11c dépend nullement de la propriété de ce terme d’etre pair ou impair; cette marque est déterminée par la manière. dont se succèdent les termes pairs et impairs dans les rangs précédents. Supposons, pour fixer les idées, qu on veuille faire prendre au (p-\-i)Umc terme la marque ïî. Par hypothèse, le fi*mt terme a une autre marque. Par la liberté que nous avons de faire ce p‘*mr terme pair ou impair, nous pouvons évidemment obtenir qu’il achève une période numératoriale, et, par là, que le {p -+- 1 li",t terme en commence une autre; et ce résultat, nous l’obtiendrons sans aucune altération des marques déjà échues aux p premiers termes.

Écrivons, en les répétant, les trois marques à la suite l'une de l’autre, dans un ordre tout à fait arbitraire, en observant toutefois que cette série de marques commence par D et que la même marque 11e soit pas écrite deux fois consécutivement. Formons, par exemple, l'arrangement

D, >’, I, y, I, D, I, D, M, D, N, I, D, N, I, N, U, etc.

En composant une fraction continue, on sera toujours maître de faire, par un mode de succession convenable des termes pairs et impairs, que les marques résultant, pour ces termes, de ce mode de succession , reproduisent avec fidélité l’arrangement assigné d’avance. L’ordre selon lequel devront se succéder les ternies pairs et impairs de la fraction continue est d’ailleurs rigoureusement déterminé par l’arrangement des marques, tel qu’il est imposé.

Toute réduite correspondant au terme de la fraction continue qui précède immédiatement un terme numéraloire est nécessairement une réduite de la première classe (§ l). Toute réduite correspondant

an terme qui précède immédiatement un terme dénnininatoire est de la deuxième classe. Toute réduite qui correspond au terme qui précède un terme imparitoire appartient à la troisième classe.

Vérifions la première de ces trois assertions. On reconnaît avec la plus grande facilité, en consultant la loi de formation des réduites, que, si notre assertion est vraie pour la réduite correspondant au terme qui achève une certaine période nnmératorialc, elle est nécessairement vraie pour la réduite correspondant au terme qui achève la période numératoriale suivante. Ensuite on démontre que celte assertion est vraie pour la réduite correspondant au terme qui achève la première période numératoriale. Donc cette première assertion est d'une vérité absolue. Les deux autres assertions se vérifient par un raisonnement analogue. D'ailleurs , en démontrant l’une quelconque de ces trois propositions , on reconnaît que sa réciproque est vraie. Ainsi , quand deux de nos propositions directes sont démontrées, la troisième en est une conséquence nécessaire ainsi que sa réciproque.

Le théorème qui vient d’être énoncé et démontré a des conséquences dignes d’être remarquées. Supposons que la fraction continue ait une infinité de ternies, et, par là, une infinité de réduites. Il est impossible qu’à partir d’un certain rang toutes les réduites de rangs supérieurs appartiennent à la même classe; ou, pour parler autrement, il est impossible qu’une seule des trois classes fournisse une infinité de réduites à la fraction continue, les deux autres classes ne fournissant pas de réduites, ou n’en fournissant qu’un nombre limité. S’il n’y a que deux classes qui fournissent chacune une infinité de réduites, il arrivera nécessairement qu’à partir d’un certain rang les réduites seront alternativement de l’une et de l’autre de ces deux classes. Ainsi les rangs de numéros impairs offriront une infinité de réduites de l’nne des deux classes et un nombre limité de réduites de l’antre classe. Les rangs pairs, au contraire, offriront" une infinité de réduites de cette dernière classe et un nombre limité de réduites de l’autre classe.

Pour que l’une des trois classes ne fournisse pas de réduites ou n’en fournisse qu’un nombre limité, il faut et il suffit qu’à partir d’un certain rang les termes de la fraction continue soient tous des nombres

pairs; ou, ce qui revient au même, pour «pie chacune des (rois classes fournisse une infinité de réduites à la fraction continue, il faut et il suflit qu’elle ait une infinité de termes impairs.

Quand la fraction continue a une infinité de termes impairs, il peut arriver que chacune des trois classes fournisse une infinité de réduites de rangs pairs, et, en outre, une infinité de réduites de rangs impairs. Gela arriverait, entre autres cas, si les termes de la fraction continue étaient tous impairs à partir d’un certain rang. Il peut arriver i\\i aucune des trois classes ne fournisse à la fois une infinité de réduites de rangs pairs et une infinité de réduites de rangs impairs. Gela aurait lieu dans le cas particulier où les termes de la fraction continue, à partir d’un certain rang, seraient alternativement pairs et impairs. 11 peut se faire qu’ tine seule des trois classes fournisse à la fois une infinité de réduites de rangs pairs et une infinité de réduites de rangs impairs. Cela aurait lieu, par exemple, si les marques des termes de la fraction continue revenaient périodiquement dans l’arrangement suivant :

Enfin, il peut arriver que deux classes de réduites fournissent chacune une infinité de réduites de rangs pairs et une infinité de réduites

de rangs impairs, mais que la troisième classe n'ait pas cette propriété. Il en serait ainsi, par exemple, si les marques des termes de la fraction continue revenaient périodiquement dans l’ordre suivant :