SUR LA THÉORIE DU SON

I»a» M. POPOFP,

Urofcésour à l’Cnivertiiê «te Ksuan.

Réduction des equations générales du mouvement des Jluides.

I La théorie des forces moléculaires a conduit M. Poisson aux équations générales du mouvement des fluides. Pour établir ces équations, on calcule les pressions dans l'intérieur de la masse fluide, d’après les formules données pour les cor|>s solides élastiques, en supposant que l’inégalité des pressions autour de chaque point n'est que momentanée. Dans les cas ordinaires de l’ondulation de fluide, on peut supposer la niasse homogène et partout également échauffée et les variations de densité très petites pendant le mouvement des molécules; en excluant, de plus, le cas des vibrations très-rapides, auxquelles on attribue les phénomènes de la lumière, on trouve [*]

f il' x du du du du

— = - -f MT + + tV

dt * dt dx dy

1 dir dv di> dt>

1ÎF=* + ,lte + v7y

dtv

div

dz'

dtp

7 = m + + vt, + wâi'

dt ~U'

= e, 7t = Wi

[*] t°ycz le Journal de l’École Polytechnique, xnf cahier.

VSS!P + h(î + “d£ + v% +

de. r/.pll

dt dt

d.pv d.pw

dy dz

Toutes les dérivées , clans les équations (i), (a), (4), (5), sont partielles et prises par rapport aux variables qui sont écrites au dénominateur; x, y, z sont les coordonnées rectangulaires d’une particule du fluide en mouvement; u, v, iv les vitesses suivant la direction des axes des coordonnées, au bout du temps t ; X, Y, Z les composantes parallèles aux mêmes axes de la force rapportée à l’unité de masse et agissant sur le point matériel (x, y, s) ; p la pression et p la densité au même point ; p et h des constantes qui dépendent de la nature du fluide. On ajoute l’équation (5) comme une condition particulière qui exprime que la masse du fluide reste continue pendant le mouvement. Au lieu de l’équation (4), M. Poisson donne la suivante

a-f-sa

A«lp p dt

où les différentielles dp, dp se rapportent à toutes les variables qui dépendent de t. Les valeurs des constantes oc, k , j3 se déterminent au moyeu des équations suivantes:

a~f ft.dt, fi = a(k -+- K),

d.-fr

K = /’=sg ï>2c/>. * =

les sommes s’étendant à tontes les molécules qui entourent le point (x , y , z) et dont la position est déterminée par les coordonnées x', y', z' relatives à ce même point. La fonction ot est égale à l’unité pour t = o, elle varie très-rapidement et devient nulle ou insensible pdur les valeurs de t tant soit peu sensibles. La fonction J'r représente la force moléculaire, ou l’action mutuelle des deux molécules M et M' situées à la distance r; cette fonction étant positive ou négative, selon que la force sera répulsive ou attractive et n’ayant d’ailleurs des valeurs sensibles que pour des valeurs insensibles de r. Enfin, on désigne par £ l’intervalle moyen des molécules autour du point M. Toutes ces quantités, aussi bien que les équations précédentes, se

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES rapportent au temps t. Les quantités «, fi, À devraient être regardées comme des fonctions de x, y, z, t ; mais nous les supposerons constantes, vu que les dilatations ou les contractions du fluide et les vitesses des molécules sont très-petites. Les sommes désignées par A et K ne se réduisent pas à des intégrales, parce que la fonction Jr, dans les limites de la sommation, peut changer plusieurs fois de signe. Nous ajouterons à cette remarque importante de M. Poisson, que pour les fluides aériformes, où la fonction jr représente constamment la force répulsive, la réduction des sommes précédentes à des intégrales est aussi inadmissible. Pour démontrer notre assertion, nous désignerons par 9 l'angle que fait l’axe des s avec le rayon vecteur r mené du point {x, y, z), et par <ji l’angle de la projection de r sur le plan {x,y) avec l’axe des x, ce qui nous donnera

z’ = r cos 9, y' — rsin 9 sin ij* , x' = r sin Q cos <{>.

Décrivons maintenant du point M comme centre, et avec le rayon r, une surface sphérique, et partageons cette surface en un très-grand nombre de petits éléments à 's , nous aurons r/s — r 3 sin 9 dQdÿ.

En supposant que les sommes K et k soient réductibles à des intégrales, la fonction Jr pour les molécules situées à la surface ds sera constante, et la valeur de la somme ^ rfr, étendue à toutes ces molécules, sera proportionnelle à leur nombre, c’est-à-dire à — Ou trouve de cette manière

K = j r/r. jf J r*Jr sin 0 dQdÿ = J' r'Jrdr,

A = 3 h£ dr£f '•* -4 0- «n -37 jT r'd. [jr.

d’où l’on tire et, par suite ,

La réduction des sommes K et A à des intégrales fait donc disparaître

PURES ET APPLIQUÉES. Hi

les termes essentiels dans les équations (i). Pour montrer maintenant l'identité des équations (4) et [4], nous observons d’abord que la fonction yt et la quantité a. dans tous les cas peuvent être supposées positives, de sorte qu’il est superflu d’attribuer à la fonction la généralité des valeurs que M. Poisson lui suppose. ( Journal de l’Ecole Polytechnique, xx" cahier, page 148.) De plus, pour les liquides, M. Poisson trouve (Mémoire déjà cité, page 1 5g)

" Z.ZC.

P lit 5 dt

et, par suite, l’équation [4] revient à

a dp

ce qui est identique avec l’équation (4), en y supposant h essentiellement positive.

Pour les fluides aériformes, il existe l’équation

dp —

pdt ' ptlt

où y désigne le rapport de la chaleur spécifique sous une pression constante, à la chaleur spécifique sous un volume constant; par suite, l’équation [4] revient à

= P-«A£{' + 2J!jr)’

ce qui est de nouveau identique avec l’équation (4), en y supposant

Mais à présent il n’est pas facile de voir si la constante h est positive ou négative.

A la vérité, des expressions pour A et K l’on tire

k = -'sP + livS'V'W’

et, par suite,