P X“ ST
'Y = ~i <!jr
<7 dP’ L~ di
Os conditions étant combinées avec l’équation (7) donneront
(8) p'=zT>e’S,
ou
Ç = f{Xdx + Y dj + Z dz)
I) est la densité du fluide pour Ç = o , c la base des logarithmes népériens, H la constante introduite par l’intégration. En ne considérant que le mouvement ondulatoire où les molécules d’un fluide s’écartent très-peu de leur position d’équilibre, il suffit de supposer
.s désignant une fonction de .r, y, 2, t inconnue, mais dont la valeur est toujours très-petite. En même temps, on peut admettre
où X est une constante. Cette équation suppose la variation de l’élasticité au point (x,y, z) proportionnelle à la compression ou à la dilatation au même point. Nous exprimons cette proportionnalité par - et non par comme cela a été fait dans l’équation (7). Pour justifier l’expression (11), il suffit de remarquer qu’elle résulte de l’équation (6), qui est vraie même pour des variations très-rapides de la densité, et qui nous donne
A étant la constante de l’intégration. En y substituant l’expression de p donnée par l’équation (10) et négligeant les termes proportionnels au carré et aux puissances supérieures de s, on aura
Le coefficient (p')> , ou, ce qui est la même chose, > , peut
être regardé coimne une quantité constante; par suite, on retombera sur l'équation (i i).
3. Dans la théorie de l’ondulation des liquides et des fluides aérifortnes, on suppose ordinairement les vitesses u, v, w et leurs dérivées partielles très-petites, et c’est pourquoi on néglige les carrés et les produits de ces quantités. Admettant cette supposition et substituant dans les équations (i), (4), (5) les valeurs de p et p données par les équations (io) et (t t), on aura
(ta)
ds du dv du
dt dr dy~*~ dz
*1 (U X ■+■ V Y -t- tl'Z),
où l’on peut considérer la quantité p' comme constante. Dans les cas ordinaires de la théorie des ondes, il suffît de supposer
en désignant par g l’intensité de la pesanteur qui agit dans la direction de l’axe positif des Z. Si l’on rejette les ternies proportionnels à la quantité fi et qu’on remplace la fonction s par une autre fonction ç, telle que
(*4) s = <pe-S'-‘,
on aura , au lieu des équations (ta) et (<3), les suivantes
du À ( </y J flr I
*=-\£ + h-dr)e-''c'
l rf.*\
«// U \fl(/ rf/ /
rf.-
dt i\ \dz dt
dt
e-#*z — g tpe-*** ;
/ r/« </t* (ftp \
iinfiii , si l’on différence les équations (i5) et (16) par rapport à jr, y, z, t, et qu’on les ajoute, il en résultera
dt
'? 1 ,.f/? X(d't , d'v | ,rt\ 't* ® dz n \dxt dy' dti J
r .ti\
d.p. d.ti d.
(ir1 dy- dz * )
7 1T+ ~dT+ -HT J1
et, au lieu des équations (10) et (1 1), on aura
où l’on fait
§ II-
Sur la propagation des ondes dans une atmosphère indéfinie.
I . Dans ce paragraphe , nous supposerons les forces X , Y , 'L égales à zéro , afin que la densité du fluide dans son état d’équilibre soit constante. De plus, nous négligerons, dans les équations (la), les termes proportionnels à la quantité /3 , soit qu’omsupposera les différences — , '-jp' etc. , des quantités très-petites du second ordre, ou qu’on admettra par approximation fs ~ o. Il s’agit donc d’intégrer les
«fi JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
équations aux différences partielles
du , ds ' dx
dt dx dt
ds
dv - ds dy
/ ~ > ds dz
*=n TT, +*
rit
où l’on a fait
ds tin dv dtv
dt (Lr ^ dy dz
Mais, par une combinaison toute simple des équations [a) et (A), déduit encore celle-ci,
Tir — n \(Të+l lÿ'+ dï)
rit
on
On n’a donc qu'à intégrer cette équation (i), et mettre ensuite la valeur trouvée de s dans les équations (a) pour déterminer, au moyen d’une intégration, les valeurs de u, e, "ii’, de maniéré. que leurs expressions deviennent des fonctions arbitraires pour t = o :
(a) «o = <Mjr> J, z)> »o = ?{x,J,z), >v. = *).
Il faut y ajouter encore une quatrième fonction arbitraire pour exprimer la valeur de s, correspondante à t = o, et que nous exprimerons ainsi :
Quant à la quantité pour t = o, on a
, . . ( ds\ du. dvt dwt
W) U)0 = ^+rf? + T,' ■
On satisfait à l’équation (t) en posant
5=2 (\e^‘ -4- Be{#') cosa (a: — «) cos bl J— fi) cost (s — y)>
PUKES ET APPLIQUÉES. 87
a, 6, c, a, 1 3, y, A, B étant des constantes arbitraires, dont les deux dernières peuvent être considérées connue des fonctions arbitraires des autres; ?' et £" sont les racines de l’équation
I1 -1- (a* -+- ft* -+■ c’) (xi; ■+• «’) = O.
Si l’on néglige le carré et les puissances supérieures de la quantité x, et que l’on pose
fi’ = a1 4- A* + c *,
on aura
«•=-?- «nFT ;
par conséquent,
s == Ve-!''*1' ( Acoswpi/ -h Bsinn/xOQ,
où l’on a fait
Q = cosa(ar — a)cos&(^ — fi)cosc(z — y),
et où l’on a écrit A et Ii au lieu de A -+- B et de (A — B) y — 1 •
Les sommes se rapportent aux constantes arbitraires, et. pour une
masse indéfinie, elles peuvent être remplacées par les intégrales
rrr/T f e — i"’"'' (A cos ny.t -+- fi sin njjLf) Q ila db de dy. <7p r/y.
Enfin, si l’on détermine A et B de manière à satisfaire aux équations (a), (3), (4), et qu’on écrive, pour abréger, un seul signe d'inté-
gration, on aura
Ai)*-1'"'1
