Occupons-nous maintenant de la réduction de l’intégrale

— il— ’ Q <** dbdcdadfidy = X.

Les indéterminées a, b, c peuvent être regardées comme trois coordonnées indépendantes; en les changeant en trois autres, u, 6, « , telles, que a = [i cos 0 , A = f i sin 5 sin « , c = p. sin 5 cos u , nous aurons

-mm ' ~ e '> “’1 cospR sin 6 pïdfidO du dad fi dy,

où l’on a fait, pour abréger,

R = (x — a) cos 5 + (/ — fi) sin 9 sin s> -+- (z — y~) sin 6 cos u.

Mais , d’après les formules connues , on a

J j* cosjutR sin ô dQ du = - ,-^!l!ü£,

J e~ W' sin Hfxt sin [i.f>dti = -j y/-e ‘■ix — e • J ,

en posant, pour abréger, c* = (x — a)* ■+■ — fi)* -t- (z — */)“: par

conséquent.

Les termes qui contiennent les fonctions ^ et jr admettent des réductions pareilles, de sorte que si l’on fait, pour abréger,

(Z) 2 = chrâs mtjm •' “ ( " - •" ?) ■ * ■'!> rf'-

$nr \ic \2*t J J J P \ J

T'= f f f f J“ f ^ e~ ‘ ~~~ Q rfa db de dadfidy.

on aura

S — — — 1HV

d\ rfï.

d.r il y

itz.

dt ~ dt'

où l'on fera t' — t après avoir exécuté la différentiation sur la fonction T'. Cette fonction T' donnera , après la réduction ,

(T») ** J ‘ - e~ °**’ ^e — «■ "jdadj Sdy,

en observant que

^ e~ ï***'' sin njx< sin pp rfju = ^ y~pe a'f — e ** J-

Si les fonctions F(x,y, 2), a), £(x,7% î) sont dévelop-

pables en série de Taylor, il est facile de réduire les expressions de X, Y, Z, T aux intégrales doubles. Nous allons exécuter les calculs pour la fonction T. En posant

a = x + p cos p, J3 = y -H p sin p sin q , y = z -t- p sin p cos y,

on aura

da d( 3 dy — p* sin p i/o dp dt/,

fJff(zi-fCdip. sine sin g, » - p sin p cos g c '"le* — t ‘ j ; sin/; df. dp ,P/.

yttV2 **

La fonction sous le signe d’intégration est formée de deux termes dif-

fèretitsT, et T„ dont le premier contient la fonction exponentielle e ' ,

et le second la fonction e * , de sorte que

En posant pour le premier terme ,

p — nt -t- o) y a * < ,

ce qui donnera

ni

îù == — a pour o=o. a = -7=1 1 r v**f

w = 00 pour f, = ao ,