Tome XV, — Maki i85o 1 a

9o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

nous aurons

Ti =<^jf ri" ''«"P**

- ~~r f ”e"“,Prf“ f f Vsi apdpdq,

4 « if \n Jo J o »/o

ou l'on a fait

V — F (x ■+■ p cos p, y ■+■ p sin p sin q , z -h p sin p cos tj).

Mais, en vertu des limites de l’intégration par rapport à p et q, on peut, dans la fonction V, poser — p au lieu de p; après quoi l’expression de T, se déduira de T, par le changement de la limite u = * en u = — *> ; par conséquent ,

T,= — ~-r=. I e~ pdu ( I V&inpdpdq 4 nr y 'n J0 J0 Jo

— — — e—m'pdw f f *F sin p dp d(\ ,

4«*V* do do do

et, définitivement,

(5) T = I e~“' fdu I I F(jt 4-peos/>, y -f-psiiip;sin y, s + psin/>

^nK\izd—o* do do

cos ij) sin fi iI/j dtj ,

eu faisant

o = ni -+- U \2Xt.

Si l’on dévelop|)e la fonction F en série de Taylor, suivant les puissances de la quantité uy axf, et qu’on pose, pour abréger,

L = F (a- -I- ni coup, y ■+- rit sin p sin q, z + ni sin p cos q), on aura

•6) t = f- r£”thsinpdp ,tq + n:*' (?) ^ p ^ * >

eu négligeant les termes proportionnels au carré de la quantité * , et en ayant égard aux formules

r%-v-rfW=^3-5”(i— 1

Les fonctions X, Y , Z admettent aussi une pareille réduction; T se

déduit de T par le changement de x en ■ par conséquent, i z—*-® , /»*

— 1 - I e * p'rfu I I F(.r-4-p'cos/>, j'H-p'sio/fsiny, n-p'sin/ice* jlsio />

» Jo Jo

où

I)e plus, le développement de la fonction F suivant les puissances de M v a x t\ donnera

T'= 4 '-*££ tLsinp(lpt,<} + g^7 sjfjf '** ^)™pdPd<i

par conséquent,

f8' (?) = vhr, i, jH f '* (?) 5i" p dP d<t-

■1. Ainsi nous avons réduit les intégrales des équations (<t) et (b) aux suivantes :

dj rfr rfX «/Y dZ

dt dt dj dy~^dz

11 = * (*• 7» *) + "\jf (z + A “.?) dt '

v =<?{*’ 7. *) + {% + dt’

= X (*• 7. «) + »’X (z + ) dt ’

où les valeurs des X, Y, Z, T, P sont données par les formules (X;, (Y), (ZI, (T), (P). L’expression pour X, par exemple, sera ■><

Z/jrfç,

p» = (x - a)* -4- (7 - PC + (* - y)%

x = . / ;• rrrtxîiiïe-'-

4nn^x ^1*t J J J P

en posant

/iy. dp dy,

y2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

ou, sous cette autre forme.

x = 1 / r~“'p du f f \{x-¥?caip, y -Jr pi\apiu\ , t + fùn p co%q\*m p dp Hq ,

.! n t \ it , — sa •/« Ja

en posant

p = nt + uy a x £ .

De même , l’expression tie T' sera

7-— 1 Ç '—"'fda f f F[x-hp'œsp, y-bp'siapànj, *-hp'siapcoii/)sinpd/

liffR iff •'O •/<»

0' = nt -f* w v a

Il est facile de vérilier que les expressions de J, u, v, <t>, pour t — o, sont identiques avec les fonctions arbitraires données.

En faisant, en effet, t = o, on aura X = o, dX , .

J f*'” e—'ttx/îïd* f f™ + y+pûnp»nq, * + p sin/> cos ?' sin />»//>/?;

et si l’on remplace dans le dernier terme u par w yï, on obtiendra

On trouve de la même manière