o» pour t — o
de sorte que les équations
s0= F(x,jr,z), «a = t (*./»*)» •'•=■? (x*Jr> *)» w«=x(-r'7»*)»
et les équations (4) sont satisfaites.
Les fonctions F, <|i, <p, x peuvent être continues ou discontinues, mais elles restent finies pour des valeurs finies de x, j, 2 et s anéantissent pour
X = ± CO , jr == ■£. 00, r=±0O.
Quand ces fonctions ne sont différentes de zéro que pour les valeurs très-petites des variables; alors, dans les expressions des X, Y, Z,
PURES ET APPLIQUÉES. g3
T, T' pour un point (x, y, z) très-éloigné de l’origine de» coordonnées , on pourra poser
et, par suite.
où B représente une fonction de x, y , 2, qui 11e dépend pas de t. On conclut de l’équation (9) que la fonction X varie, suivant la même loi, pour tous les points ix.y, s) qui sont également éloignés île l’origine des coordonnées , et qu’elle a des valeurs réelles pour tous les points de la niasse indéfinie, quelque petit que soit t.
En observant que
~dt
nous aurons, pour déterminer le temps t correspondant à la valeur maximum de X,
n* -t- a / — ra = o ,
d’où l’on tire, en négligeant les quantités proportionnelles au carré
de x,
I,es mêmes conclusions se rapportent aussi aux fonctions Y, Z. Observons encore qu’en posant p = r, et changeant t ' en 5 . on pourra écrire, au lieu de l’équation (T'), celle-ci:
A* 9 Af * fî v'à
où l’on a fail
r* nn 2* * *
nn
a = rrr^’hu
du ri fi dwf
ç)4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Ki» différentiant cette formule, nous aurons
fi
Kc * / « 1 \
Ar s
dt) ~
fi ’V
et si l'on fait 5 = t, comme l’exige l'équation (s), on a
rfr
OLüt'fi
A* -+- r* — xt) i|/r nryr .
en faisant, pour abréger,
n/ nr tir n a
tyr =1 c * — e * » f r = e’ + e *
nx t r *
Kn différentiant de nouveau par rapport à t, on a
— — A ‘ ■- — r! ■+• 3*/) — yr -t- (n’P — r’) •}./• — — r1 -t- 3«f) ■ ** *^— — J.
■tupfi L * **f I
Mais la différentiation immédiate nous donnera aussi
par consequent, la condition du maximum de la fonction qui est égale à
d T dT
dt a dp
Al|r , ,j .4. Ili ) .
sera
4 h/ III -h 3 n’ t* — xf^ (w’t1 — r1 •+■ 3xf) -t- *xl(r* — 3m’/*) = o.
Pour x = o , cette équation donnera deux racines positives r = nt et r = ünt. Ayant admis la première de ces racines, nous poserons, pour la seconde approximation ,
r — nt ~ — — ,
et , en observant que
, /** »io(înr8)</8
1r Jo 'Tt.O e-x,0
ou, si l’on néglige les termes proportionnels à x%
+r = 2 rmrï2ün}(iusslt
?r * Jo "
— «* + ax/.aH'i1 — ôx’t* = o;
par suite , la relation définitive entre r et / sera (n) r = /U ± \ xt,
en négligeant les termes très-petits du second ordre. Nous ne discuterons pas l’autre racine de l'équation précédente , parce que l'expérience n’a pas prouvé, jusqu’à présent, l’existence d’une onde sonore douée de la vitesse 3 n. 11 est donc démontré, par l'analyse précédente , que, dans une atmosphère élastique et indéfinie, le mouvement ondulatoire commence aussitôt pour tous les points de la masse , quelque petit que soit le rayon de l’onde initiale. Mais la variation de la densité et les vitesses, étant insensibles en dehors de l’onde initiale pour les premiers instants du mouvement, acquiérent des valeurs maxima après un intervalle déterminé du temps, et s’annulent peu à peu après cette époque. La propagation de l'onde douée de la plus grande variation de densité dépend des causes initiales d'ébranlement. Si les vitesses initiales sont communiquées immédiatement à quelques molécules du milieu , sans que la densité de ce milieu ait subi une variation quelconque , l’expression de s ne renfermera que les fonctions X , Y , Z. Dans ce cas, la propagation de l’onde sera uniforme, mais l’expression de l’espace parcouru contiendra un terme constant et proportionnel à la quantité x, qui, étant déterminée par l’expérience, donnera la valeur de la constante h introduite dans les équations générales (a) et (/> . Si l’ondulation est produite par une variation de la densité dans quelques endroits de l’atmosphère, et si les vitesses initiales des molécules sont nuiles, il y aura deux ondes à maximum de la variation de
•jfi JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
densité : la première se [iropagera avec une vitesse qui croit proportionnellement a la racine carrée du temps; la seconde se propagera avec une vitesse décroissante dans la même raison, de sorte qu'au bout du temps t ces deux ondes s’éloigneront à la distance ayxf. Mais cette distance, aussi bien que la valeur de la fonction même
rfT dT
fit fit
diminuent indéfiniment avec la quantité x, et deviennent égales à zero jKHir x — o. Donc , pour les points qui sont très-éloignés de l’onde initiale, la fonction F(x,jq z) ne contribue pour rien à la variation de la densité; de sorte qu’il restera
rfX rfY rfZ
s=dï + liï + 7ï '
Nous avons vu que les fonctions X, Y, Z, T, T' s’expriment par des intégrales définies triples. Le même nombre de signes intégrais entrera dans l’expression de s, tandis que u, t», «'s’exprimeront pat des intégrales quadruples.
En supposant x = o, on obtiendra
u = <^(x,jr,z) + n2 f*-di,
W = Xxx,j,z) + n2jo Ttd,,
i = j j r (jc -4- fit an p , y + rttsinpùnq, z -t- ntsxnp co*y 1 tûnp dp d<j
1 r * rr
47r*/o Jo
.r-f -Ntca*j>t y +■ nttxtip sintj,
z 4- ntsiup co» q ) t sin/# dp dtf.
où , en place de
d h {* . r . »! d f , *) __ dy (.1 . ,» ■ z d. x dy dz
on a écrit, pour abréger, >F(x,^, z). Ces équations sont identiques
avec celles que M. Poisson a données dans les Mémoires de l'Institut (tome X).
I La supposition p — r, que nous avons admise pour simplifier les expressions de X, Y, Z, T, T, réduit l’onde initiale à une sphère trèspetite, ou, pour ainsi dire, k un point; c’est par cette raison que les termes dépendants des dimensions de l’onde initiale ne sont pas entrés dans les équations (10) et (il). Pour conserver ces termes, il faut transformer les expressions citées de X, Y, Z, T, T' de manière que la position de l’onde initiale soit déterminée relativement au point (x, y, z). Transportons l’origine des coordonnées dans ce point et remplaçons les coordonnées rectilignes par les coordonnées polaires, en posant
a = x -4- p cos p , j3 = y -I- p sin p sin q , y = z -t- p sin p cos q ,
où p désigne l’angle que fait l’axe des x avec la ligne p menée du point (x,j, z) au point (a, j3, y), q est l’angle formé par la projection de p sur le plan (jrz) avec Taxe des z. Passons à un autre système d’axes rectangulaires, et désignons par a, a,, a, les cosinus des angles que le nouvel axe des x fait avec les axes initiaux; b, h,, b, et c, c, , c, ont des valeurs correspondantes pour les nouveaux axes des y et des z; soient de même p1 et q ' les nouveaux angles polaires, on aura
cos p = a cos p' + b sin p' sin q' -t- c sin p' cos q
sin p sin q = a, cos p' ■+- b, sin p' sin q' -i- c, sin p' cos q',
sin p cos q = a, cos p' H- b a sin p' sin q ' -h c a sin p' cos q\
r/a dj 3 d y = p* sin p' dp' dq' dp.
L’intégrale X prendra la forme suivante :
*î7 .r.-üL/e? .«î\
. ' -J- -, — f * **' ‘v — * */'“'•• f wf ?
( x -t- p ex» py y -t o tin/riinf, i •+- 0«in/»co« d/>
ou 7 désigne la plus grande valeur de p'\ r, et rt sont la plus grande Tome XV. — Mill i85o. 1 ^
JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et la pins petite valeurs de p , pour lesquelles la fonction f n’est pas
nulle. La fonction e a". p ne change pas de signe entre les limites d'intégration , par conséquent ,
où M représente la valeur de l'intégrale
, r sa r,( *-" '?\ . , ,
• I dq' I ( r * — e * I 9 (x -+- fi cos/i , ) -+- t sin p sin q , 2 -4- p sin/i cos «7) si" P »
pour la valeur moyenne de p entre r, et ty De plus, comme
f e~ ïTïptlp = x/ ‘ — e~ j >
on aura l'équation
(M) X = x M ~ -éTi — e a « 1 j e — T* y t ■>
et sa différentielle
dX
dt
= — — — I e 1,1 (rj — n*/’ -t- xt) — c ’'‘(ri-n’t1 + */j ,
uÿt L J
d’ou l’on tire, pour la valeur maximum de la fonction X, la condition suivante :
(ta)
où
2tr, 4- 1*
r; — ra sr r, + I,
ce qui eût identique avec l’équation (10), si l'on néglige les quantités proportionnelles au carré de e. En retenant les quatre premiers ternies du développement de la fonction exponentielle dans l'équation précédente, et supprimant le signe de r,, nous aurons
r J — fr
■ al
— ^ jij
<ex
iU'
et si, dans les termes ajoutés, on pose, par approximation,
on obtiendra
•= nt -i- — — t* ( £-
an a \6»
ce qui nous conduit de nouveau à un mouvement uniforme de l’onde , du moins pour des valeurs de t très-considérables. Si le nouvel axe des x passe par I onde initiale, et si le point {x,y. z) est assez éloigné de cette onde, de sorte que l’angle o reste toujours très-petit , on aura
cos p=n, sin p sin q = a, , sin /> cosÿ = a7 ; et la valeur de l’intégrale M sera
La valeur de la fonction X est donc proportionnelle à s*, c'est-à-dire à la base du cône qui enveloppe l’onde initiale. Différentiant la fonction X deux fois de suite , nous aurons
■ -= — [(r J — n7tJ -t- xt)7 — 4xt(t’î — «’<* + *t) -t- ax< “l^c — a «*<)],
jif’ y I
__ £».£ Me a' a"
7= — [(rj — «*<*-+- x*)1 — 4*<) r J — n7t7 -t- xf) -t- axt’jx — în’t)]. 4 * f* yf
La condition pour le maximum et le minimum de X ,
(r* — n’t* -t- xt) = étant combinée avec l’inégalité
(rj — n7 t* -t- xt).
donne
