PROPOSITION II

THÜORKME [*].

Le nombre des valeurs d’une Jonction de n lettres est nécessairement un diviseur du produit i .a. 3... n.

[ * j Ce théorème est bien connu et se présente pour ainsi dire de lui-même. Si nous en parlons ici, c'est moins pour en donner une démonstration nouvelle <pic pour dispenser le lecteur d'avoir recours aux travaux antérieurs.

Soil

V = ç (rt, A, c, ri,..., k,l)

une fonction de « lettres, qui a jti valeurs distinctes V„ V,,..., V..

Formons l’équation du degré /x

que nous représenterons aussi par

'F (x) étant, d’après le lenune I de l’introduction, un polynôme en x dont les coefficients sont des fonctions symétriques des n lettres a. b, c , ( i ,..., k , l.

Soit aussi, pour abréger,

Formons les N permutations des lettres a, b, c,..., k, l, et remplaçons les lettres de V successivement par celles de chacune de ces permutations; on aura N valeurs de V, que nous représenterons par

et si l’on désigne par l’équation

il est évident que les coefficients rie F (x) sont des fonctions symétriques des n lettres a , b , c , d k , /.

Maintenant F' (x) est divisible par T (x) ; soit p la plus haute puissance de W (x) qui divise F (x), et posons

je dis que T’, (x) ne peut dépendre de x, et qu’elle est, par suite, égale à t . Supposons, en effet, que le contraire ait lieu ; 'V, (x} est une fonction symétrique de a, b, c, d,..., k , /, d’après l’équation précé-

PURES ET APPLIQUÉES, dente; donc, d’après la proposition I , V ne peut avoir d'antres valeurs que celles qui sont racines de l’équation

Mais cela est impossible, car cette équation n’a pas les p racines V,, Y,,...,V,,; puisque alors F (x) serait divisible par une puissance de 'I (.r) supérieure à la a'rme.

On ne peut donc supposer que 'F, (x) soit fonction de x: cette quantité sera dés lors égale à i, et l’on aura F (x) = [<F (x)]?,

et , par conséquent,

N = pp.

Ce qu’il fallait démontrer.