III
Réflexion du son sur le plan.
Lorsque l'atmospliere élastique est terminée d'un côté par un plan fixe, ce plan réfléchit l’onde sonore, de manière que la normale à la surface de l’onde , avant la réflexion , et la normale à la surface de cette onde, après la réflexion, font, avec le plan réfléchissant, deux angles égaux. Pour donner une démonstration générale de cette loi d’acoustique, prenons le plan réfléchissant pour le plan des coordonnées {xy) ; la condition que le mouvement normal à ce plan s’annule au contact avec lui sera
w — o ou — = o, pour z = o.
L’expression de s ne changera pas de forme, et Ton aura f/T d'J dX dY d Z
* — ~T, — 2 “TT *+“ —j 1 j —~z i
(il dt dx dy dt
mais , pour que les fonctions T, T', X, Y, Z satisfassent aux équations
ds
— = o, pour z = o,
el se convertissent en fonctions arbitraires qui sont données pour toutes les valeurs des variables , comprises entre x = — ce , y = — * et x = oo , y = ao , et seulement entre z — o et z = ec , par les équations
■ ds\ d ,d\ dji dz\
\<fc/ o dt \ dx dy di J
il faut supposer
% oo ;c x) 't- -r -r
P . £ f P C . r - “ ' *ln nt*f eus « (x — a) cos b(y — p) cos ri tin cy du db de dx dp dy ,
•p.£ f L”/ g >e ‘iîLÎLtf cosa (x — *)cos6(r — fi cmricaxty da db de dx i/B dy ,
I {1 J ' ’ «fi o O V — — O
■J**i*< jlu ^ X co X -e -r-
X==i C b (x 6 il <• ' >ln '*|t cola (x — *) co»A (/ — Slcoscz cose? do db ikdx dp dy,
Y = — f y(x,p,y)c cOia[s — »)co»*(^ — p) anct emey da db de dx db dy ,
it* J fff* ooo — — o
/__ t ny1 ( 35 0O 30
Z («• (>, 7) r ' ’ en* a ii — x) cm b (y — (i) sill ri sin c y da db de dx dp dy ,
où l’on a désigné, pour abréger, les limites arbitraires des a, fl, 7 par les signes — et .
En observant que
cos ci cos c-f = - cos c (z — 7) -+- - cos c (ï -t- y), sin cz sin cy — j cos c [z — y) — - cos c (x -t- 7) , et faisant usage de l’analyse des paragraphes précédents, 011 aura
cos « [X — *) cm b (y — p) cos ex ros cy da db de dxdb dy ,
» Ot 3C -f- -f- -t-
a'} — (x — a)’ -t- ( y — fi)' + (z — y)’.
it» JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Pour X et Y on obtient des expression» pareilles. On trouve de nieine
r •• ( UÜr -tü\ l
si l'on écrit, pour abréger, l’expression de T sous la forme suivante T — / F (a, fi, y) K du t/|S dy + f F (a , fi. y) K, du df 3 dy,
oit K représente le terme qui contient p, et K, le terme qui contient p, et qu'on remplace dans ce dernier y par — y, on aura
T = / F ùl, fi, y\ Wdudfidy — / F > a, fi, — y) K du dfi dy,
